本発表では, 双曲空間上の Lane-Emden 方程式の動径対称解の族がなす層構造について議論する. 動径対称解の族が層構造をなすとは, 任意の二つの動径対称解が互いに交わらないことを表す. ユークリッド空間上の Lane-Emden 方程式については既に, 非線形項の指数が Joseph-Lundgren 指数以上の場合に, 動径対称解の族が層構造をなすことが知られている. 一方で, 双曲空間上の Lane-Emden 方程式については, 動径対称解の原点での値が十分小さいという仮定の下で, 動径対称解の族が層構造をなすことが示されている. 本発表においては, 双曲空間上の Lane-Emden 方程式に関して, 動径対称解の原点での値についての仮定を課さずに, 動径対称解の族が層構造をなすかを調べる. さらに, 双曲空間上の Lane-Emden 方程式に対して, 層構造の成立に関する臨界指数の存在についても議論を行う.

本発表では, $n$次元ユークリッド空間$\mathbb{R}^n$ ($n\ge 3$)における次の移流拡散方程式の初期値問題の大きな前方自己相似解の存在について考察する. 移流拡散方程式は尺度不変性を持ち, 対応する臨界 Lebesgue 空間は$L^{\frac{n}2}(\mathbb{R}^n)$となる. また, 非負な初期値に対応する解は非負となり, 方程式の第一式が連続の式であることより$L^1$保存則(質量保存則)が成立する. よって空間2次元の場合は質量臨界な問題となる一方で, 高次元の問題における自己相似解の存在は質量保存則の成立する枠組みでは期待できない. 本発表では, 高次元における移流拡散方程式の有界な自己相似解の存在を示し, 証明の概略を述べる. 本発表の内容はWrocław大学のP. Biler氏およびG. Karch氏との共同研究に基づく.

分数冪ラプラシアンを有するBurgers方程式を考察する. 方程式を全空間で考え, 時空間に関する 解析性が成り立つことを説明する. さらに任意の大きさの初期値に対して解の長時間挙動を 明らかにする. 時間大域的正則性については2008年頃に解決されているが, 正則性の証明 についても触れる. 最後に, 半空間の場合について議論する.

Doubly-nonlinear diffusion equation involves at least two different sorts of nonlinearities, which can also cause degeneracy and singularity of diffusion coefficients. Therefore there arise various issues beyond the scope of the classical theory for linear and quasilinear parabolic equations. To settle those, some useful devices based on functional analysis have been developed so far; however, there still remain exceptional situations where they do not work well. In this talk, we shall discuss existence of local-energy solutions to doubly-nonlinear diffusion equations posed on the whole euclidean space for growing (in space) initial data. A difficulty then arises from the mismatch between functional analytic devices and the fact that growing data cannot be handled within the frame of (standard) Lebesgue and Sobolev spaces, for which various methods in functional analysis have been established. To overcome this, we shall develop a general framework to integrate functional analytic devices with other arguments for handling solutions and initial data growing in space (e.g., local-energy estimates based on truncation techniques). The framework relies on standard local-energy estimates, but it does not require any further estimates such as (interior) $C^{1,\alpha}$ estimates, which are often needed for handling gradient nonlinearity. Moreover, such a general strategy will be applied to variants of porous medium and fast diffusion equations involving the Finsler Laplacian, which are classified as doubly-nonlinear diffusion equations. This talk is based on a joint work with Kazuhiro Ishige (The University of Tokyo) and Ryuichi Sato (Fukuoka University).