２００３年度の記録
２００４年３月２４日 13:30--17:00
講演者及び題目
第一講演
13:30?14:30
講演者：森井 慶 氏 (東北大 理, M1)
題目：凸超曲面上の Fourier 変換の減衰評価に関する論文紹介
第二講演
14:45?15:45
講演者：池田 幸太 氏 (東北大 理, M1)
題目：四階微分の項を含んだ拡張型の Fisher-Kolmogorov 方程式の定常解について
第三講演
16:00?17:00
講演者：小野寺 栄治 氏 (東北大 理, M1)
題目： Fourier restriction norm method に関する論文紹介
２００４年１月１６日 15:30--17:40
講演者及び題目
第一講演
15:30?16:30
講演者：桑原 千春 氏 (東北大 理)
題目：生理学に現れる時間遅れをもつ微分方程式の周期解の分岐
第二講演
16:40?17:40
講演者：星野 真樹 氏 (東北大 理)
題目：特異性のある半線形拡散方程式の定常解と解の消滅現象との関係
２００４年１月１５日 16:00--17:00
講演者及び題目
第一講演
16:00?17:00
講演者：市川 洋祐 氏(東北大 理)
題目：3 重結節点を伴う変分問題の解の存在について
２００４年１月８日 15:30--16:30
講演者
鈴木 友之 氏 (東北大 理)
題目
Navier-Stokes 方程式の弱解の正則性と圧力及び渦度の関係について
２００３年１２月１１日 16:00--17:30
講演者
滝本 和広 氏 (広島大 理)
題目
Removable sets for curvature equations of order $k$
要旨
In this talk we study the removability of singular sets
for the curvature equations of the form $H_k[u]=\psi$,
which is determined by the $k$-th elementary symmetric function,
in an $n$-dimensional domain. We prove the removability of
isolated singularities of viscosity solutions to the curvature equations
for $1 \le k \le n-1$. We also consider the class of
``generalized solutions" and prove the removability
of a singular set which is a compact set of vanishing
$(n-k)$-dimensional Hausdorff measure.
２００３年１２月４日 13:30--14:30
講演者
Igor Rodnianski 氏 (Princeton University)
題目
Stability of N-soliton states of NLS
２００３年１１月２７日 16:00--17:30
講演者
加藤 淳 氏 (東北大 理)
題目
On some generalization of the weighted Strichartz estimates
for the wave equation and self-similar solutions to nonlinear
wave equations
要旨
重み付きStrichartz評価と呼ばれる、線形波動方程式の解に対する
重み付きの時空評価について考察する.この型の評価は、非線形
波動方程式の初期値問題の小さな初期値に対する時間大域可解性
を示すための重要な道具であることが知られている.
本講演では特に、ユークリッド空間上の極座標に基づいて、動径
方向と球面方向で異なる指数のルべーグ空間を用いた型の評価に
ついて考・@する.このような空間を用いることで、これまで球対称性
の仮定の下で示されていた評価が球対称性の仮定なしに示される.
証明には波動方程式の解の球面調和関数による展開が用いられる.
また、この評価の応用として非線形波動方程式の自己相似解の存在
が示される.
２００３年１１月２０日 16:00--17:30
講演者
大下 承民 氏 (東大 数理)
題目
Multi-bump standing waves with a critical frequency
for nonlinear Schrodinger equations
（joint work with J. Byeon (POSTECH))
要旨
非線形シュレディンガー方程式の半古典定在波に対応する解の
存在について考察する.非負ポテンシャル関数 $V$
（$\liminf_{|x|\to \infty} V(x) > 0$) をもった
$\varepsilon^2 \Delta u - V(x)u +u^p=0$, $x\in \bf{R}^N$
の形の楕円型方程式に対して、
$V$ が零点を持つ場合に、ある条件の下で、
いくつかの極大点をもち、その極値が、$\varepsilon\to 0$ のとき、
異なるスケールをもつような、新しい型の解の存在を証明する.
２００３年１１月１４日 13:30--15:00
第一講演
14:30?15:30
講演者：小川 聖雄 氏 (慶応大 理工)
題目
Incompressible ideal fluid motion with free boundary
far from equilibrium
要旨
水の波は、無限に広がる帯状領域における、非圧縮性理想流体の
自由境界問題として定式化される.この種の自由境界問題は、
流体が渦なし運動をするという仮定の下で考察されることが多い.
これに対し、本講演では渦があるときを考える.そして、水面と水底が
平坦に近くない場合でも、時間局所解が一意に存在することを示す.
第二講演
15:30?17:00
講演者：石井 仁司 氏 (早稲田大 教育)
題目：Hamilton-Jacobi 方程式に対する Relaxation
要旨
アブストラクト：Hamiltonian が凸関数でない場合に，Hamilton-Jacobi方程式の
a.e.の意味でのLipschitz連続な解の族について各点での上限を取る操作を施すとき，
多くの場合に，得られる関数は凸化されたHamilton-Jacobi方程式の粘性解になる．
これをHamilton-Jacobi方程式に対するRelaxationと呼び，これについて紹介したい．
２００３年１１月６日 16:00--17:30
講演者
福村 裕史 氏 (東北大 理(化学))
題目
二成分溶液の相分離ダイナミクス
２００３年１０月３０日 16:00--17:30
講演者
溝口 紀子 氏 (東京学芸大)
題目
超臨界指数をもつ半線形熱方程式の解の挙動について
要旨
次の半線形熱方程式 $ u_t = \Delta u + u^p $ の非線形項の冪$ p
$がSobolevの埋め込みの指数より大きい場合の 時間大域解の有界性、有限時間
で爆発する解の接続（爆発した後 古典解になり時刻無限大で増大する解やある
定常解に収束する解、爆発した後 古典解になりもう一度爆発する解の存在）に
ついて得た最近の結果を紹介する.
２００３年１０月２３日 16:00--17:30
講演者
佐藤 得志 氏 (東北大 理)
題目
Structure of the solution set of a vector valued elliptic
boundary value problem with a Lipschitz nonlinear term
要旨
We consider the boundary value problem with the Dirichlet condition
in a Banach space for a semilinear elliptic equation on a bounded domain
in ${\bf R}^n$ whose nonlinear term satisfies the Lipschitz condition.
If the Lipschitz constant $L$ is less than $\lambda_1$,
then this problem has a unique solution, where $\lambda_1$ is
the least eigenvalue of the corresponding (real valued) eigenvalue
problem.
On the other hand, for any $L>\lambda_1^{}$ we can consrtuct
a nonlinear term with the Lipcshitz constant $L$ such that
the solution set is homeomorphic to any prescribed closed subset
of the Banach space.
２００３年１０月９日 16:00--17:30
講演者
三浦 英之 氏 (東北大 理)
題目
Remark on uniqueness of mild solutions to the Navier-Stokes equations
要旨
n次元Navier-Stokes方程式においては、Kato、Giga- Miyakawaによるｎ乗可積分
関数を初期値とする解の局所存在がよく知られていますが、その局所解の一意性が
成り立つクラスの研究についても興味深い歴史があります.今回は、従来の一意性
のクラスの拡張とそれに関連する話題をお話ししたいと思います.
２００３年７月３日 16:00-17:30
講演者
堀内 利郎 氏 (茨城大 理)
題目
On the minimal solution for quasilinear degenerate elliptic
equation and its blow-up
要旨
\subsection{Introduction}
Let $\Omega $ be a bounded open set of
$\Bbb R^N \,(N\ge2)$ whose boundary $\partial\Omega$
is of class $C^{2}$.
In connection with combustion theory and other applications, we are
interested in the study of
positive solutions of the quasi-linear elliptic boundary
value problem
\begin{equation}\begin{cases}&L_p(u)= \lambda f(u) \text{ in } \Omega
,\\
& u=0\qquad\qquad \text{ on }
\partial \Omega,\end{cases}\label{1.1}\end{equation}
where
%$L_p(\cdot) $ is the $p$-Laplace operator defined by
$ L_p(\cdot)= $ $-\div \big(|\nabla \cdot|^{p-2}\nabla \cdot)\big) $.
Here $p>1$, $\lambda $ is a nonnegative parameter and the nonlinearity
$f$ is, roughly speaking,
continuously differentiable, positive,
increasing and strictly convex on $[0,+\infty)$. Typical examples are
$f(t)= e^t$ and
$(1+t)^q$ for $ q>p-1$.
When $p=2$, it is known that there is a finite number
$\lambda^*$ such that (\ref{1.1}) has a classical positive solution
$u\in C^2(\overline\Omega)$ if
$0≦\lambda≦\lambda^*$. On the other hand no solution exists, even in the
weak sense, for $\lambda>\lambda^*$.
This
value $\lambda^*$ is often called the extremal value and solutions for
this extremal value are called extremal
solutions.
%It has been a very interesting problem to find and study the properties
of these extremal solutions.
In this talk we treat similar problems for the quasilinear operator
$L_p(u)$.
The minimal solution $u_\lambda\in C^{1}(\overline \Omega) $ is defined
by
as the smallest solution among all possible bounded
solutions
The linearized operator is given by
\begin{equation} L_p'(u)(\cdot) =-\div\Big(|\nabla u|^{p-2}\big(\nabla
\cdot+(p-2)\frac{(\nabla u,\nabla \cdot)}
{|\nabla u|^2}\nabla u\big)\Big).\label{1.2}\end{equation}
Note that $L_p(u)$ is not always differentiable at any point
$u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ in the sense of Frechet.
We introduce a Hilbert space $V_{\lambda,p}(\Omega)$ and an admissible
class of directions
$\tilde V_{\lambda,p}(\Omega)\subset V_{\lambda,p}(\Omega)$ which depend
essentially
upon $u_\lambda$. Then the operator $L_p(\cdot)$ becomes
differentiable at $u_\lambda$ in the direction to $\tilde
V_{\lambda,p}(\Omega).$
Although
$ L_p'(u_\lambda)(\cdot)$ is a degenerate elliptic operator, it is shown
that $ L_p'(u_\lambda)(\cdot)$
has a compact inverse from $L^2(\Omega)$ to itself. This crucial
property is based on the compactness of
the imbedding; $V_{\lambda,p}(\Omega)\longrightarrow L^2(\Omega)$ for
$\lambda\in (0,\lambda^*)$.
\begin{df}\label{extremal}{\bf( Extremal value $\lambda^*$)}
The extremal value $\lambda^*$ is defined as the supremum of $\mu$ such
that:
\par\noindent $(a)$ For any $\lambda \in (0,\mu]$ there exists
the minimal solution $u_\lambda$ of (\ref{1.1}).\par\noindent
$(b)$
The following Hardy type inequality is valid :
\begin{equation}\int_\Omega |\nabla u_\lambda|^{p-2}
\Big(|\nabla \varphi|^2+(p-2)\frac{(\nabla u_\lambda,\nabla \varphi)^2}
{|\nabla u_\lambda|^2}\Big)\,dx\ge \lambda \int_\Omega
f'(u_\lambda)\varphi^2\,dx\label{1.3}
\end{equation} for any
$\varphi\in V_{\lambda,p}(\Omega)$.
Here $V_{\lambda,p}(\Omega)$ is defined by
\begin{align} &V_{\lambda,p}(\Omega)= \{\varphi : ||
\varphi||_{V_{\lambda,p}} ≦+\infty ,
\varphi = 0 \text{ on }\partial \Omega\},\\
& || \varphi||_{V_{\lambda,p}}= \bigg(\int_\Omega |\nabla u_\lambda(x)|
^{p-2}|\nabla \varphi|^2 \,dx\bigg)^{\frac12}.\end{align}
\end{df}
\begin{df}\label{accessibility}{\bf( Accessibility Condition )}
The first
eigenfunction
$\hat \varphi^\lambda \ge 0$ is said to satisfy (AC) if for any $\e>0$
there exists
a nonnegative $\varphi\in \tilde V_{\lambda,p}(\Omega)$ such that
\begin{equation}L'_p(u_\lambda)( \varphi-\hat \varphi^\lambda)+
| \varphi-\hat \varphi^\lambda|\le \e
\max(\hat \varphi^\lambda,dist(x,\partial\Omega)) \quad\text{in }
\Omega.\label{definition 1.3}
\end{equation}
Here $\tilde V_{\lambda,p}(\Omega)= \{\varphi\in V_{\lambda,p}(\Omega),
\nabla \varphi =0 \text{on some neighborhood of } F\}$, $F= \{ x\in
\Omega : \nabla u_\lambda =0\}$.
\end{df}
\begin{df}\label{definition 10.1}{\bf( Growth Condition )} For $p>1$, a
function $f(t)\in C^1([0,\infty))$ is
said to satisfy (GC) if $f$ is increasing, strictly convex with
$f(0)>0$ and
$\frac{f'(t)} {f(t)^\frac{p-2}{p-1}}\,
\text{is nondecreasing on } [0,\infty).\label{10.2}$
\end{df}
\subsection{Results}
\begin{thm}\label{theorem 1.1}
(1) The extremal value $\lambda^*$ is positive. Moreover
the first eigenvalue of
$L'_p(u_\lambda)-\lambda f'(u_\lambda) $
is positive provided that $\lambda$ is suficiently small.
\par\noindent (2)
Let
$u_\lambda
\in C^1(\overline
\Omega)$ be the minimal solution of (\ref{1.1}) for $\lambda\in
(0,\lambda^*)$.
We have as $\lambda\to \lambda^*$ a finite limit a.e.
$u_{\lambda^*}(x) = \lim_{\lambda\to \lambda^*}u_{\lambda}
(x).$
Moreover $u_{\lambda^*}\in W^{1,p}_0(\Omega)$ and $u_{\lambda^*}$ is a
weak solution of (\ref{1.1}) with
$\lambda=\lambda^*$.
\end{thm}
\begin{thm}\label{theorem 1.2}
Assume that $p\in [2,\infty)$ Then for a sufficiently small $\lambda>0$
$u_\lambda$ is left differentiable at $\lambda$ in
$V_{\lambda,p}(\Omega)$. Moreover
the left derivative
$v_\lambda \in V_{\lambda,p}(\Omega)$ satisfies
\begin{equation}\begin{cases}&L'_p(u_\lambda)v_\lambda-\lambda
f'(u_\lambda)v_\lambda
=f(u_\lambda), \quad\text{ in } \Omega\\
& v_\lambda= 0,\qquad\qquad\qquad\quad\qquad\qquad\text{ on }
\partial\Omega.\end{cases}
\label{1.5}\end{equation}\end{thm}
\begin{thm}\label{theorem main } Assume that $1＜p＜+\infty$.
Let $u_\lambda
\in C^1(\overline
\Omega)$ be the minimal solution of (\ref{1.1}) for some $\lambda>0$.
Assume that $\hat\varphi^\lambda$ satisfies (AC).
Then the first eigenvalue of $L'_p(u_\lambda)-\lambda f'(u_\lambda) $
is nonnegative.
\end{thm}
\begin{thm}\label{theorem 1.4}
Let $u_{\lambda^*}$ be a unbounded extremal solution.
Assume that (GC).
Then there is no solution to (\ref{1.1}) provided that $\lambda>
\lambda^*$.
\end{thm}
\begin{prop}\label{prop 1.1} Assume that $p\ge 2$.
Let $u_{\lambda^*}$ be the extremal solution.
Then the Hardy type inequality (\ref{1.3}) holds for $u_{\lambda^*}$.
(When $1＜p≦2$, we also have a somewhat weak result.)
\end{prop}
\begin{prop}\label{prop 1.2}
Assume that $1＜p\le 2$.
For $\lambda>0$,
let $u_\lambda$ be the minimal solution or possibly the extremal
solution.
Let $u\in W_0^{1,p}(\Omega)$ be a weak energy solution of (\ref{1.1})
satisfying the Hardy type inequality for any $\varphi\in
V_{\lambda,p}(\Omega)$. Moreover, if $1＜p≦2$, then we assume that
$ |\nabla u|\ge|\nabla u_\lambda|\,\text{ a.e. in } \Omega.$
Then we have $\lambda=\lambda^*$ and $u =u_{\lambda^*}$(When $p>2$, we
also have a somewhat weak result.)
\end{prop}
When $\Omega$ is a ball,
we investigate these problems rather precisely by using {\bf the
weighted Hardy type inequality
with a sharp missing term}.
% The extremal solutions are determined in most cases.
２００３年６月２６日 16:00--17:30
講演者
竹内 慎吾 氏 (工学院大)
題目
複素ギンツブルグ・ランダウ型方程式の大域アトラクター
要旨
非線型ラプラシアンを主要項とした複素ギンツブルグ・ランダウ型
方程式（いわゆる複素ギンツブルグ・ランダウ方程式も含む）の大
域アトラクターの存在について述べたい．解の一意性を期待せずに
大域解の存在のみ保証されるような複素パラメーターに対して（多
価の）解写像を構成し，それが初期値と同じ関数空間でコンパクト
な大域アトラクターをもつことを示す．任意の空間次元に対して大
域アトラクターの存在が示されることに注意しておく．（淺川秀一
氏（岐阜大），横田智巳氏（東京理大）との共同研究）
２００３年６月１９日 16:00--17:30
講演者
R\'emi Weidenfeld 氏
(Universities of Paris-Sud and Aix-Marseille III)
題目
Allen-Cahn equation and anisotropic mean curvature flow
要旨
In material growth appear models where the state function satisfies an
Allen-Cahn equation which contains Finsler metrics to treat the
anisotropy
of the material. In this work in common with D. Hilhorst (University of
Paris-Sud) and M. bene\v{s} (Faculty of Nuclear Science and Physical
Engineering, Praha), we consider the sequence $(u^\epsilon)$ solution of
\[ (P^\epsilon)\quad \begin{cases}
u_t = \nabla.\left( \Phi^0(\nabla u)\Phi^0_\xi(\nabla u)\right)
+\fra{2}{\epsilon^2}u(1-u^2)+F\tilde{\Phi}^0(\nabla u)
&\text{in $\Omega\times (0,\infty)$,}\\
\Phi^0(\nabla u)\Phi^0_\xi(\nabla u).\nu
&\text{on $\partial\Omega\times (0,\infty)$,}\\
u(x,0)=u_0(x) &\text{for all $x\in\Omega$,}
\end{cases}\]
where $\Phi^0$ and $\tilde{\Phi}^0$ are two Finsler metrics,
$\epsilon>0$
is a small parameter, $F$ is a function on $\Omega\times (0,\infty)$,
$\Omega$ is a smooth bounded domain of $\mathbb{R}^N$ and $\nu$ its
normal unit vector.
After giving the notions of normal vector and mean curvature in the
context
of Finsler metrics, we prove the convergence of $u^\epsilon$ to $\pm 1$
on both sides of an interface moving by mean curvature together with a
forcing term. The proofs involve a well-posedness result for the
limiting
problem as well as generation and propagation results for Problem
$(P^\epsilon)$.
２００３年６月１２日 16:00--17:30
講演者
中島 主恵 氏 (東京水産大)
題目
ロトカ-ボルテラ型競争拡散系における遷移層の形成とその運動について
要旨
本講演では空間非一様なロトカ-ボルテラ型競争系を考え，
その解が形成する遷移層の性質と挙動について論じる．
解にあらわれる遷移層の挙動は次の２つの過程からなることを数学的に
厳密に示す.
(i) 初期時刻で短時間のうちに遷移層（界面）が形成される過程
(ii) 形成された遷移層が界面方程式に従って運動する過程
単独方程式のAllen-Cahn 方程式については，類似の研究がこれまでに
数多くある. 空間一様な係数の場合，界面方程式は平均曲率流に
なる．また空間非一様な係数の場合は，界面方程式は平均曲率流に
移流項を加えたものになる(Ei-Iida-Yanagida, Nakamura-Matano-
Hilhorst-Sch\"atzlet).
一方，競争系については，空間一様の場合に Ei-Yanagida が
(ii) の界面方程式が平均曲率流になることを示している.
本研究ではでは今までなされていなかった (i) を証明することができた.
空間非一様な場合を考えており, 初期状態から過程(i), (i) から (ii)
へ推移する過程, 過程(ii) をとおして解の挙動を記述する.
２００３年５月２９日 16:00--17:30
講演者
赤堀 公史 氏 (東北大 理)
題目
シュレディンガー波動方程式の連立系の大域解について
要旨
空間4次元におけるこの方程式の大域解は, 双線形評価が悪いため,エネルギークラスより
広い空間では知られていない. しかし,波動の初期データが ${\dot H}^1$ のときは,
シュレディンガーの解がエネルギークラス $H^1$ よりも広いところで, I-methodを使って
大域解を作ることができることを示す.
２００３年５月２２日 16:00--17:30
講演者
観音 幸雄 氏 (愛媛大 教育)
題目
Lotka-Volterra 競争系の定常解及び進行波解の大域的な分岐構造について
要旨
Lotka-Volterra 競争系
$$ u_t = \varepsilon \, u_{xx} + u \, (1 - u - c \, v), \quad v_t =
\varepsilon \, d \, v_{xx} + v \, (a - b \, u - v) \eqno{(1)} $$
を扱い，パラメータに関する定常解及び進行波解の大域的な分岐構造について考察
する．比較定理を用いて，線形化作用素の性質を調べることにより，(1) の定常解及び
進行波解の分岐構造と，反応拡散方程式
$$ u_t = \varepsilon \, u_{xx} + u \, (1 - u) \, (u - a), \quad 0 ≦ a ≦ 1\eqno{(2)} $$
のそれらとは類似していることが分かってきている．本講演では，(2) の分岐構造の
概観を解説した後に，その構造と対応付けながら，(1) の分岐構造に関して得ら
れている結果を紹介する予定にしている．
２００３年５月１・T日 16:00--17:30
講演者
笠井 博則 氏 (福島大 教育)
題目
Ginzburg-Landau-Maxwell方程式の漸近挙動について
要旨
超伝導現象のモデル方程式であるGinzburg-Landau方程式と
Maxwell方程式の連立系の漸近挙動を考える. この方程式系は
ゲージ不変性があるために、平衡点を時間に依存しない解だけに
限定することができない. 今回の講演では 平衡点の定義に
エネルギー汎関数を利用することにより、安定平衡点近傍での
漸近挙動を議論し、また 安定平衡点への decay rate についても
考察する.
２００３年５月８日 16:00--17:30
講演者
岡部 信広 氏 (東北大 理(天文))
題目
プラズマ運動に基づいた宇宙プラズマに於ける非熱的現象の研究
要旨
宇宙に存在する天体は、星（質量約10^33g）、約1千億個の星の集団である銀河、
約千個の銀河の集団である銀河団、数個の銀河団が連なって出来た超銀河団、
と階層構造をなしている.銀河団は、力学的に平衡に達しっている天体の中で
最大規模の物である. この銀河団には、温度約1億度、密度約0.001 個/cc の
高温希薄電離プラズマが満ている. このプラズマは、制動放射過程によりX線を
放射している. 米国が1999年に打ち上げたX線観測衛星Chandra は、これまでの
観測装置に比べて圧倒的に高い角度分解能を持っており、この観測よりこれまで
予期しなかった銀河団プラズマの多様な構造の存在が明らかになった.
この様な構造の形成、進化過程を明らかにする上で重要なキワードは、「非熱的
プラズマ現象」であると我々は考えている. 講演では、プラズマ運動論に基づいた
非熱的プラズマ現象の研究の現状を紹介し、銀河団プラズマの非熱的現象の解明に
非常に有望であることを納得させる事を試みたい. 必然的に非平衡、非線形過程を
取り扱わなくてはならず、現状でのこの部分の取り扱いは全く不十分である.
今後どの様な進展が望まれるか出来るだけ具体的に紹介したい.
２００３年５月１日 16:00--17:30
講演者
吉川 周二 氏 (東北大 理)
題目
Weak solution for the Falk model system of shape memory alloys in energy class
要旨
形状記憶合金の Falk model system の 初期値問題を考える. このエネルギークラスに
おける時間大域解の存在と一意性についての結果を,これまでの結果と比較しながら述べる.
２００３年４月１７日 16:00--16:30
講演者
Hyunseok KIM (延世大)
題目
Existence results for viscous polytropic fluids with vacuum
要旨
We study the full Navier-Stokes system for compressible fluids and
are interested , in particular , to obtain existence results with nonnegative
density. The energy and momentum equations lose the parabolicity in a region
(so-called vacuum) where the density vanishes.
We show how to overcome this difficulity by using a natural compatibility
condition on the initial data.
