本年度の記録

「集中講義」
2024年 1月 23日(火), 24日(水), 25日(木), 26日(金)

会場
川井ホール
講師
片山 聡一郎 氏 (大阪大学)
講義題目
非線形波動方程式の大域解と漸近挙動
プログラム
詳細はこちらをご参照下さい.


2023年1月18日(木) 15:00-18:00 (いつもと開催日時が異なりますのでご注意下さい.)

会場
東北大学 合同A棟8階801室 (オンラインとのハイブリッド形式で開催されます)
発表者
上田 龍磨 氏 (東北大学)
題目
表面準地衡方程式の軟解の一意性について
要旨
本発表では, 2次元表面準地衡方程式の軟解の一意性について述べる. 任意の大きさの初期値に対して滑らかな時間大域解が一意的に存在することはよく知られているが, 本発表では可微分性を課さない解に対して一意性を考える. 既存の3次元非圧縮 Navier-Stokes 方程式の軟解の一意性の証明で使われたべソフノルムを用いた評価と, 表面準地衡方程式ならではの非線形項の変形を活用した証明を紹介する.
発表者
澁谷 光祐 氏 (東北大学)
題目
Sobolev 空間における実解析的な相互関係について
要旨
本発表では Gagliardo--Slobodeckij セミノルムで定めた分数階 Sobolev 空間と Lebesgue 空間の関係について考察する. Gagliardo--Slobodeckij セミノルムの可微分指数を形式的に0とすると, その値は定数函数を除いて発散し, Lebesgue ノルムに一致しない. Gu--Yung (2021) は微分指数が0のときに, Gagliardo--Slobodeckij セミノルムを weak ノルムに変えることで Lebesgue ノルムと同値になることを示した. 本発表では微分指数が0のときに, 開球上の Lebesgue ノルムと同値な表現について考察し, 同値性を BMO 空間の枠組みへ拡張する.
発表者
髙松 脩 氏 (東北大学)
題目
Combined effect に関する一次元非線形波動方程式の一般論の改良
要旨
空間一次元において, 小さい初期値と一般の非線形項をもつ波動方程式を考える. ここで, 方程式の古典解の最大存在時間を Lifespan と呼ぶ. 一般論では一般的な多項式の形をした非線形項と一般の初期値に対して, 長時間存在に関する Lifespan の下からの評価を詳細に分類分けすることが目的であり, Li, Yu, Zhou (1992) により結果が得られている. またその最適性は特別な単項のモデル方程式と特別な初期値を考えることで Zhou (1992, 2001) によって示されている. しかし, 非線形項を2種類の和の形にすることで, それぞれ単項の場合の Lifespan の最小値より更に短くなるという, 高次元では知られていた Combined effect と呼ばれる現象が, 空間1次元では初期速度の全空間での積分量がゼロの場合に起こることが最近になってわかった. そしてそれと同時に既存の一般論は分類不足であり, 改良の可能性があることも明らかとなった. 今回実際に, 30年以上も改良の余地がないと信じられてきた一般論を改良することができたので, 本発表ではそれを紹介する.


2023年1月11日(木) 15:00-18:00 (いつもと開催日時が異なりますのでご注意下さい.)

会場
東北大学 合同A棟8階801室 (オンラインとのハイブリッド形式で開催されます)
発表者
城戸 龍輝 氏 (東北大学)
題目
空間一次元における非線形波動方程式の一般化された combined effect
要旨
本発表では, 空間一次元におけるモデル半線形波動方程式の初期値問題に対する古典解の最大存在時間, いわゆる lifespan 評価を紹介する. 非線形項として正値性のある種類の異なる冪の和を採用すると, それぞれ単項の場合の lifespan の最小値よりも更に小さくなる, いわゆる combined effect, という現象が発生する. これは空間高次元ではすでに知られていたが, 空間一次元では線形自由な解が時間減衰しないため起こらない, と考えられていた. しかし, 初期速度の全空間での積分量がゼロであれば, 空間一次元でも combined effect が起こることを, 発表者は共同研究で証明することができた. この結果は, 約30年ほど前に示された Li, Yu and Zhou による空間一次元非線形波動方程式に対する一般論に改良の余地があることを示唆している. それを考慮すると, 非線形項に正値性のないモデル方程式を考える必要がある. そこで, とりあえず未知関数とその時間導関数との積の非線形項を持つ波動方程式に対して, 先行研究とは異なる combined effect を考慮した初期値の仮定のもとで同様の lifespan 評価を出したことも紹介する. 本発表は, 高村 博之 先生 (東北大学), 佐々木 多希子 先生 (武蔵野大学/東北大学), 高松 脩 氏 (東北大学 修士2年)との共同研究に基づく.
発表者
山口 晃 氏 (東北大学)
題目
平面閉曲線に対するイデアル汎函数の束縛条件付き勾配流の構成
要旨
曲率の Dirichlet 汎函数として定義されるイデアル汎函数に対する勾配流を平面閉曲線の場合に考える. 先行研究によって, 初期曲線の回転数が 0 でない場合に, 時刻無限大で多重円を含む円に収束するような勾配流が構成されたが, 初期曲線の回転数が 0 の場合に定常解へと収束するような勾配流の存在は未だ知られていない. そのような勾配流を構成することを目的とし, 本発表では非伸縮条件を付した新たな勾配流を構成し, その時間大域挙動について得られた結果を報告する.
発表者
山本 哲也 氏 (東北大学)
題目
Fourier rearrangement に対する Pólya--Szegö 型不等式および Lebesgue ノルムに関する不等式
要旨
Talenti (1976) は, Schwarz symmetrization を用いることで楕円型作用素に対する比較定理を示した. 本発表では Brock--Chiacchio--Ferone--Mercaldo (2018) の手法を Fourier rearrangement に適用し, 分数べき Laplacian に対する比較定理について考察する. 前半は分数べき Laplacian に対する積型 Pólya--Szegö の定理を示し, 後半はそれを用いて得られた積分型の比較定理について述べる.

2023年12月21日(木) 16:30-18:00

会場
東北大学 合同A棟8階801室 (対面+Zoom のハイブリッド形式での開催となります)
発表者
Dáithí Ó hAodha 氏 (東北大学)
題目
Large-time behaviour of the curl-free Navier-Stokes equations
要旨
In this presentation, we will analyse the behaviour of solutions to the curl-free Navier-Stokes equations over large timescales. We do this by obtaining sharp time-decay estimates, first for the linear problem and then for the nonlinear problem. Sharp estimates are obtained by proving bounds from above and below by a function of time. The decay rate for Lebesgue exponent p=2 is equivalent to that of the heat kernel. For p=$\infty$, however, we get the same decay rate as the first derivative of the heat kernel. This is due to the fact that, for low frequencies, the semigroup kernel for the curl-free Navier-Stokes equations behaves like a convolution of the heat kernel and the semigroup kernel for the wave equation.

2023年12月14日(木) 16:30-18:00

会場
東北大学 合同A棟8階801室 (対面+Zoom のハイブリッド形式での開催となります)
発表者
柴田 徹太郎 氏 (広島大学)
題目
Bifurcation diagrams of one-dimensional nonlocal elliptic equations
要旨
We study the one-dimensional nonlocal elliptic equation of Kirchhoff type with several Kirchhoff functions. We establish the shape of bifurcation curves $\lambda(\alpha)$ and solutions $u_\alpha$, where $\alpha:= \Vert u_\lambda\Vert_\infty$.

「東北大学OS特別セミナー」
2023年12月13日(水) 16:30-18:00

会場
東北大学 数学棟201号室 (対面形式)
発表者
磯部 伸 氏 (東京大学)
題目
A Convergence result of a continuous model of deep learning via Łojasiewicz--Simon inequality
要旨
本発表の主題は, 連続無限層をもつ深層ニューラルネットワークモデルの学習過程を記述する Wasserstein 型勾配流である. 発表の前半では, この勾配流モデルの導出の背景を, 深層学習の基礎を踏まえて説明する. 後半では, この勾配流の, 時間無限大における臨界点への収束性を考察する. 一般に, 距離空間上の勾配流の漸近挙動は, Łojasiewicz--SImon の勾配不等式を確立することで解析できることが知られている. しかしながら, 先行研究においては, 単純化したニューラルネットワークに対して勾配不等式が示されるにとどまっていた. 本研究の主たる貢献は, ニューラルネットワークと損失関数の解析性を仮定した上で, 平均場最適制御理論を利用することにより, 例え連続無限層であっても, 勾配不等式を確立したことである. なお, 本発表は, プレプリント に基づく.

2023年12月7日(木) 16:30-18:00

会場
東北大学 合同A棟8階801室 (対面+Zoom のハイブリッド形式での開催となります)
発表者
佐藤 光汰朗 氏(東北大学)
題目
不可逆拘束条件を伴う凸エネルギー汎関数に対する準静的発展変分不等式
要旨
本発表では, ある破壊力学的モデルに由来する, 解の広義単調非増加性を拘束条件とする準静的発展変分不等式の初期値境界値問題について考察する. 本発表で扱う問題の解は, 拘束条件により時間に関して単調非増加となるだけでなく, 変分不等式の構造から, あるエネルギー汎関数に対して ''片側極小条件'' と ''エネルギーバランス則'' という2つの変分的な性質を満たす. これらの特徴を持つ時間発展系は破壊力学モデル (cf. [Francfort-Marigo, 1998]) と深い関係があるが, その偏微分方程式論的な数学解析は十分に行われていなかった. また本発表で扱う問題はいわゆる二重非線形発展方程式としての側面を併せ持つが, 消散ポテンシャルの退化性と特異性により, 既存の一般論の範疇を大きく逸脱する. [Akagi-Kimura, 2019] では消散項に解の時間微分項を付け加えるといういわゆる放物型正則化を施した発展方程式が研究されているが, そこでは上で述べたような変分的性質が満たされず, 特にエネルギーの自発的な消散が生じることが知られている. また [Akagi-Sato, 2023] ではエネルギー汎関数が二次形式になる場合が扱われている. 本発表では特に, エネルギー汎関数を二次形式に限らず, その劣微分作用素に Lipschitz 連続性すら仮定しない枠組みで, (時間大域的な) $ L^2 $-解の存在, およびその定常解への収束について最近得られた結果を説明する. 作用素の Lipschitz 連続性を課さないことにより, 解の時間微分に対するアプリオリ評価の導出に困難が生じることに注意する. また, このような拡張は破壊力学モデルに動機づけされるが, 時間があればその背景についても解説する.

「集中講義」
2023年 11月 27日(月), 28日(火), 29日(水), 30日(木), 12月 1日(金)

会場
川井ホール
講師
Philippe Laurençot 氏 (CNRS, Université Savoie Mont Blanc)
講義題目
Dynamics of Keller--Segel models
プログラム
詳細はこちらをご参照下さい.

2022年11月23日 (木)

お休み

2023年11月16日(木) 16:30-18:00

会場
東北大学 合同A棟8階801室 (対面+Zoom のハイブリッド形式での開催となります)
発表者
Philippe Laurençot 氏 (CNRS, Université Savoie Mont Blanc)
題目
Bounded weak solutions to a cross-diffusion system
要旨
Existence of solutions to a class of second-order degenerate parabolic system featuring cross-diffusion, which includes the thin film Muskat problem, is studied. On the one hand, the system is endowed with a gradient flow structure, a feature which provides a natural way to construct weak solutions. On the other hand, a countably infinite family of Liapunov functionals is constructed for this system, a property leading to the existence of bounded weak solutions. The large time behaviour of these solutions is also identified. Joint works with Bogdan-Vasile Matioc (Regensburg)

2023年11月9日 (木)

お休み

2023年11月2日(木) 16:30-18:00

会場
東北大学 合同A棟8階801室 (対面+Zoom のハイブリッド形式での開催となります)
発表者
清水 良輔 氏 (早稲田大学)
題目
First-order Sobolev spaces and self-similar energies on the Sierpinski carpet
要旨
1980年代後半から急速に発展した「フラクタル上の解析学」では Sierpinski gasket や Sierpinski carpet を始めとした自己相似フラクタル上での熱拡散 (Brown運動) の定式化を皮切りに, 熱核評価やポテンシャル論などの豊富な解析学が展開された. これらの解析学は Hajłasz, Heinonen-Koskela, Shanmugalingam, Cheeger などらによる「距離空間上の解析学」とは異なった特異的様相を呈し, 従来の Euclid 空間や Riemann 多様体の上の解析学の常識は通用しない世界であることが明らかになった. その一方で, 特に Sierpinski carpet 上では, 多くの評価が確率論的解釈に依存していることが障害となり, 単純な $L^p$-拡張, すなわち $(1,p)$-Sobolev 空間と対応する $p$-エネルギーの定式化, すらままならない状況であった. 本発表では, Sierpinski carpet のグラフ近似列上の離散エネルギーの (部分列) スケール極限としての $(1,p)$-Sobolev 空間と $p$-エネルギーの構成法、及び、可分反射性や正則性 (連続関数の中で稠密) などといった関数空間の基本的性質に関する結果を紹介する. 本研究は Mathav Murugan 氏 (University of British Columbia) との共同研究に基づく.

2023年10月26日(木) 16:30-18:00

会場
東北大学 合同A棟8階801室 (対面+Zoom のハイブリッド形式での開催となります)
発表者
西谷 達雄 氏 (大阪大学)
題目
Cauchy problem for operators with triple effectively hyperbolic characteristics—Ivrii’s conjecture
要旨
V.Ivrii は1972年に微分作用素に対する初期値問題が任意の低階に対して $C^∞$ 適切であるためには主シンボルのすべての危点で基本行列が0でない実の固有値の対を持つことが必要であることを証明した. さらに彼は1975年に主シンボルが各危点の近傍で滑らかな2つのシンボルの積に書けるという付加条件の下にこの定理の十分性を証明し一般に「任意の低階に対して初期値問題が $C^∞$ 適切であるためには各危点で基本行列が0でない実の固有値の対を持つことが必要十分である」と予想した. 任意の低階に対して初期値問題が $C^∞$ 適切となる作用素 (強双曲型作用素) は狭義双曲型作用素につぐ重要な作用素でありこの予想は作用素の特性根の重複度が2以下 (かつ一様適切) の場合は1984年に証明されたが重複度が3以上の特性根を持つ場合 (および特性根の重複度は2以下だが一様適切でない場合) は未解決であった. 最近この残された場合についても予想が証明されたので本発表ではその証明の概要を解説する.

2023年10月19日(木) 16:30-18:00

会場
東北大学 合同A棟8階801室 (対面+Zoom のハイブリッド形式での開催となります)
発表者
細野 竜也 氏 (東北大学)
題目
Global existence and boundedness of solutions to the 4D fully parabolic chemotaxis system with indirect signal production
要旨
間接的なシグナルを伴う完全放物型走化性方程式系の初期値問題を考察する. 一般的な Keller--Segel 系では, 細胞は細胞自身が分泌する化学誘引物質の濃度勾配に直接的に干渉し時間発展を行う. 他方, 間接的シグナルを伴う走化性方程式系に於いては, 細胞は細胞自身と化学誘引物質との間で何らかの事象を介して間接的に干渉し時間発展する. これは癌浸潤やある昆虫のパターン形成, 免疫のメカニズムなどの生物現象を記述する数理モデルで観察できる. 数学的には Keller--Segel 系における 2次元空間での "$8\pi$-問題" と呼ばれる解の時間大域挙動が大きく変わる質量臨界現象に対して, 間接的シグナルを伴う走化性方程式系では 4 次元空間で質量臨界現象が起こり得ることが知られている. 本発表では, 初期質量が 4 次元の臨界値 $(8\pi)^2$ 未満ならば解が時間大域的に存在すること, および解が時間大域的に一様有界を満たすための初期条件について得られた結果を述べる. 本研究内容は Philippe Laurençot 氏 (CNRS / Université Savoie Mont Blanc, France) との共同研究に基づく.

2023年10月12日(木) 16:30-18:00

会場
東北大学 合同A棟8階801室 (対面+Zoom のハイブリッド形式での開催となります)
発表者
物部 治徳 氏 (大阪公立大学)
題目
外力を持つ曲線短縮方程式のスポット解について
要旨
外力を持つ曲線短縮方程式は, 様々な数理モデルの縮約方程式の一つとしてしばしば出現し, その解析は重要になる. 本発表では, 外力や異方性を考慮した曲線短縮方程式を扱い, スポット状の進行波解が存在するための条件を考察していく. 本研究は, 二宮広和氏 (明治大学) との共同研究も基づく.

2023年10月5日(木) 16:30-18:00

会場
東北大学 合同A棟8階801室 (対面+Zoom のハイブリッド形式での開催となります)
発表者
駒田 洸一 氏 (中京大学)
題目
非線形4階シュレディンガー方程式に対する群対称な解の散乱
要旨
質量優臨界かつエネルギー劣臨界である引力的な非線形項を持つ4階シュレディンガー方程式について考える. 先行研究では, 空間2次元以上で初期値が球対称である場合に, 基底状態解の下での解の時間挙動の分類が得られている. 本発表では, 先行研究における散乱に関する部分の結果を空間1次元以上で初期値が群対称な場合に拡張できることを紹介する. この拡張は, 特に空間1次元で初期値が偶函数である場合を含む. なお本発表の内容は眞崎聡氏 (北海道大学) との共同研究に基づく.

「東北大学OS特別セミナー」
2023年8月9日(水) 16:00-18:00

会場
東北大学 合同A棟8階801室 (対面形式)
発表者
小島 瑞輝 氏 (東京工業大学)
題目
On solvability of a time-fractional semilinear heat equation, and its quantitative approach to the classical counterpart
要旨
本発表では, 分数階時間微分をふくむ半線型熱方程式の可解性に関する考察をする. 特に典型的な半線型熱方程式として藤田方程式を取り扱う. 有名な結果として, 非線型項の冪が藤田指数の場合, 藤田方程式は非負値時間大域解を持ち得ないことが知られている. さらに藤田指数冪の方程式は, 有界とは限らない或る可積分初期値に対して, 如何なる非負値時間局所解をも有さない. ところが, 時間微分を分数階微分に置き換えた対応方程式は, 藤田指数冪であっても(大域・局所両方の意味で)可解性を示すことが知られている. 本研究では時間分数階藤田方程式について, 初期条件に課される可解性の必要条件ならびに十分条件を導出し, 方程式の大域・局所可解性に関する詳細な考察を行う. 特に時間微分階数を1に近付けたとき, 大域・局所可解性の「破綻」が如何なる数学的定式化により表現されるかを示す. 本研究は比佐幸太郎氏 (東北大学) との共同研究に基づく.

「集中講義」
2022年 7月 18日(火), 19日(水), 20日(木), 21日(金)

会場
川井ホール
講師
鈴木 大慈 氏 (東京大学)
講義題目
機械学習の解析的・統計的研究
プログラム
詳細はこちらをご参照下さい.

2023年7月13日(木) 16:30-18:00

会場
東北大学 合同A棟8階801室 (対面+Zoom のハイブリッド形式での開催となります)
発表者
津原 駿 氏 (東北大学)
題目
2次元半空間上の Schrödinger 方程式に対する境界 Strichartz 評価とその応用
要旨
本発表では, 2次元半空間上で非線形 Neumann 境界条件を課した Schrödinger 方程式の初期値境界値問題を考察する. 1次元半直線においては, Batal-Özsari , Hayashi-Ogawa-Sato らが, 同様の初期値境界値問題を考察している. ここでは, 2次元半空間における非斉次 Neumann 境界項に対する境界 Strichartz 評価を示し, 非線形問題へ応用する. 特に, 半空間の境界と内部両方に非線形項を課した初期値境界値問題が, いわゆる $L^2$ 劣臨界, または $L^2$ 臨界となる場合に時間局所適切となることを証明する. 本発表は, 小川卓克氏 (東北大学), 佐藤拓也氏 (熊本大学) との共同研究に基づく.

2023年7月6日(木) 16:30-18:00

会場
東北大学 合同A棟8階801室 (対面+Zoom のハイブリッド形式での開催となります)
発表者
Weiping Yan 氏 (Guangxi University)
題目
Stabilizability for a quasilinear Klein-Gordon-wave system with variable coefficients
要旨
In this talk, we introduce the stabilizability for a quasilinear Klein-Gordon-wave system with variable coefficients in the whole space. The stabilizability of linear wave-type equations with the Kelvin-Voigt damping has been considered by Liu-Zhang (SIAM J. Control Optim. 54 (2016) 1859-1871) for an elastic string system, and by Yu-Han (SIAM J. Control Optim. 59 (2021), 1973-1988) for the linear wave system in a cuboidal domain, respectively. We establish that there exists a linear feedback control law such that the quasilinear Klein-Gordon-wave system is exponentially stable under certain smallness conditions, where the feedback control is a strong Kelvin-Voigt damping.

2023年6月29日(木) 16:30-18:00

会場
東北大学 合同A棟8階801室 (対面+Zoom のハイブリッド形式での開催となります)
発表者
高橋 仁 氏 (東京工業大学)
題目
Sobolev 優臨界な半線形熱方程式における臨界ノルム爆発について
要旨
冪乗型の非線形項を持つ半線形熱方程式 (藤田型方程式) を考える. この方程式にはスケール不変性があることから, スケール不変な Lebesgue ノルム (臨界ノルム) が定まる. 本発表では, 解が有限時間で爆発 (発散) するとき臨界ノルムも爆発するか, という問題を考える. 主結果においては, 非線形項の冪が Sobolev の臨界指数と呼ばれる値よりも大きいとき, 解の爆発時刻付近における臨界ノルムが常に非有界となることを示す. なお本発表の内容は三浦英之氏 (東京工業大学) との共同研究に基づく.

2023年6月22日(木) 16:30-18:00

会場
東北大学 合同A棟8階801室 (対面+Zoom のハイブリッド形式での開催となります)
発表者
高田 了 氏 (東京大学)
題目
Large time behavior of global solutions to the Navier-Stokes equations with the Coriolis force
要旨
We consider the large time behavior of global solutions for the initial value problem of the Navier-Stokes equations with the Coriolis force in the three-dimensional whole space. We establish the $L^p$ temporal decay estimates with the dispersion effect of the Coriolis force. Moreover, we show the large time asymptotics of global solutions behaving like the first-order spatial derivatives of the integral kernel of the corresponding linear solution. This talk is based on the joint work with Takanari Egashira (Kyushu University).

2023年6月15日(木) 16:30-18:00

会場
東北大学 合同A棟8階801室 (対面+Zoom のハイブリッド形式での開催となります)
発表者
勝呂 剛志 氏 (大阪公立大学)
題目
Tsallis エントロピーに関する対数型 Sobolev の不等式の欠損項評価とその応用について
要旨
対数型 Sobolev の不等式とは, ある情報量が有界という条件下における確率密度函数の Boltzmann--Shannon エントロピーの最適化問題から 得られる函数不等式である. ここでは, Boltzmann--Shannon エントロピーの1パラメータ拡張である Tsallis エントロピーに関する対数型 Sobolev の不等式を考察し, 不等式の欠損項に関する評価を導出する. さらに, その応用として, 対数型 Sobolev の不等式の最良定数を達成する函数の安定性について考える. また, 確率密度函数の2次モーメントが有界という条件下で成り立つ Shannon の不等式と対数型 Sobolev の不等式の関係に着目し, 確率密度函数に対する不確定性関係を意味する不等式の拡張と改良について述べる.

2023年6月8日(木) 16:30-18:00

会場
東北大学 合同A棟8階801室 (対面+Zoom のハイブリッド形式での開催となります)
発表者
Glen Wheeler 氏 (University of Wollongong)
題目
Arbitrarily high order concentration-compactness for curvature flow
要旨
We extend Struwe and Kuwert-Schätzle's concentration-compactness method for the analysis of geometric evolution equations to flows of arbitrarily high order, with the geometric polyharmonic heat flow (GPHF) of surfaces, a generalisation of surface diffusion flow, as exemplar. For the (GPHF) we apply the technique to deduce localised energy and interior estimates, a concentration-compactness alternative, pointwise curvature estimates, a gap theorem, and study the blowup at a singular time. This gives general information on the behaviour of the flow for any initial data. Applying this for initial data satisfying $||A^o||_2^2 < \varepsilon$ where $\varepsilon$ is a universal constant, we perform global analysis to obtain exponentially fast full convergence of the flow in the smooth topology to a standard round sphere. This is joint work with James McCoy, Scott Parkins, and Valentina-Mira Wheeler.

「東北大学OS特別セミナー」
2023年6月7日(水) 16:00-18:00

会場
東北大学 合同A棟8階801室 (対面形式)
発表者
大山 広樹 氏 (九州大学大学院数理学府博士3年)
題目
Fast rotation limit for the magnetohydrodynamics equations in a 3D layer
要旨
本発表では, 鉛直方向に周期境界条件を課した3次元層状領域において, 回転の効果を考慮に入れた非圧縮性磁気流体力学方程式の初期値問題を考察する. 3次元全空間において同方程式を考察した場合, 回転速度を無限大とする特異極限において, 解である速度場と磁場は, それぞれゼロベクトル場と線形熱方程式の解へ収束することが知られている. 本研究では, 回転速度が十分大きい場合の同方程式の時間大域解の一意存在性を証明する. 更に, 回転速度を無限大とする特異極限において, 同方程式の時間大域解が, 2次元磁気流体力学方程式と3次元誘導方程式の連立系の解へ収束することを示す. 尚, 本研究は米田慧司氏(沼津工業高等専門学校)との共同研究に基づく.

2023年6月1日(木) 16:30-18:00

会場
東北大学 合同A棟8階801室 (対面+Zoom のハイブリッド形式での開催となります)
発表者
野ヶ山 徹 氏 (中央大学)
題目
Maximal regularity in Besov-Morrey spaces and its application to Keller-Segel equations
要旨
本発表では, Besov-Morrey 空間における熱方程式の最大正則性評価について考察する. 最大正則性評価については UMD (unconditional martingale differences) という性質を持つ Banach 空間に対して, その導出に一般論が存在する. しかし Besov-Morrey 空間は UMD という性質を持たず,この一般論を適用できないため, 個別に議論する必要がある. 本発表では, Besov-Morrey 空間における熱方程式の最大正則性評価とその導出について紹介する. また, この評価の応用として得られた Keller-Segel 方程式の局所及び大域可解性についての結果も紹介する. 本発表は, 澤野嘉宏氏(中央大学)との共同研究に基づく.

2023年5月25日(木) 16:30-18:00

会場
東北大学 合同A棟8階801室 (対面+Zoom のハイブリッド形式での開催となります)
発表者
西口 純矢 氏 (東北大学 材料科学高等研究所 数学連携グループ 千葉研究室)
題目
”Mild solutions” and variation of constants formula for delay differential equations
要旨
The method and the formula of variation of constants for ordinary differential equations (ODEs) is a fundamental tool to analyze the dynamics of an ODE near an equilibrium. It is natural to expect that such a formula works for delay differential equations (DDEs), however, it is well-known that there is a conceptual difficulty in the formula for DDEs. In this talk, we discuss the variation of constants formula for DDEs by introducing the notion of a "mild solution", which is a solution under an initial condition having a discontinuous history function.

2023年5月18日(木) 16:30-18:00

会場
東北大学 合同A棟8階801室 (対面+Zoom のハイブリッド形式での開催となります)
発表者
比佐 幸太郎 氏 (東北大学)
題目
Initial traces and solvability for a semilinear heat equation on a half space of $\mathbb{R}^N$
要旨
半平面上の斉次 Dirichlet 境界条件を持つ半線形熱方程式の initial trace の存在と一意性について議論を行う. 一般的に initial trace の問題とは方程式をみたす関数が時刻 0 でどのような Radon 測度に収束するか調べる問題であるが, この方程式については, 境界条件の影響で初期値が Radon 測度でなくとも解が存在しうることが知られている. したがって, Radon 測度の枠組みでの議論は不十分と言え, 改良が求められる. 本発表ではまず, 可解性のための必要条件について議論を行い, それを用いて initial trace の存在と一意性を導出する. なお, 本発表は, 石毛 和弘 氏 (東京大学)と高橋 仁 氏 (東京工業大学)の共同研究に基づく.

2023年5月11日(木) 16:30-18:00

会場
東北大学 合同A棟8階801室 (対面+Zoom のハイブリッド形式での開催となります)
発表者
原 宇信 氏 (北海道大学)
題目
非有界 Radon 測度を外力にもつ p-Poisson 方程式について
要旨
Radon 測度を外力にもつ p-Poisson 方程式について考える. 外力が有限エネルギーをもつときの弱解の存在は古典的結果である. (有界な)符号付き測度に対する広義解の定義とその存在定理は 90 年代に整備された. 有界と限らない Radon 測度に対する広義解の定義も与えられているが, その存在のための必要十分条件は解の境界挙動とも関係し未解決問題である. 本発表では解の存在のための十分条件を二種類紹介する. また, それらの Sobolev型の埋め込み定理への応用を与える.

2023年5月4日 (木)

お休み

2023年4月27日(木) 16:30-18:00

会場
東北大学 合同A棟8階801室 (対面+Zoom のハイブリッド形式での開催となります)
発表者
李 浩光 氏 (東北大学 / 中南民族大学)
題目
Analytic Gelfand-Shilov smoothing effect of the spatially homogeneous Landau equation in hard potential
要旨
In this work, we study the spatially homogeneous Landau equation with hard potential in a close-to-equilibrium framework, we show that the smooth solution to the Cauchy problem with a small $L^2(\mathbb{R}^3)$ initial datum enjoys an analytic Gelfand-Shilov regularizing effect in the class $S^1_1(\mathbb{R}^3)$, meaning that the solution of the Cauchy problem and its Fourier transformation are analytic for any positive time. The evolution of analytic radius is similar to the heat equation.

2023年4月20日(木) 16:30-18:00

会場
東北大学 合同A棟8階801室 (対面+Zoom のハイブリッド形式での開催となります)
発表者
村松 亮 氏 (東北大学 大学院理学研究科)
題目
Estimates on modulation spaces for solutions to Schrödinger equations with magnetic fields
要旨
本研究ではよく知られた磁場中のシュレーディンガー方程式の解に対する, モジュレーション空間における初期値による評価を考察する. 自由及びスカラーポテンシャル付きのシュレーディンガー方程式に対しては, 解のモジュレーション空間における評価が得られている (Bényi-Gröchenig-Okoudjou-Rogers(2007), Cordero-Gröchenig-Nicola-Rodino(2013), Kato-Kobayashi-Ito(2014)など). 磁場中のシュレーディンガー方程式に対しては, 磁場特有の一階微分項からくる周波数成分の増大のために従来の方法では解を評価することができなかった. 本発表では, 空間減衰磁場および空間一様磁場の場合に, 解の$M^{p, p}$ノルムを初期値の$M^{p, p}$ノルムで評価する評価式とその証明方法について述べる. また, 磁場がある意味で短距離型の場合の結果についても紹介する. なお本発表は, 加藤 圭一 教授(東京理科大学)との共同研究に基づく.

2023年4月13日(木) 16:30-18:00

会場
東北大学 合同A棟8階801室 (対面+Zoom のハイブリッド形式での開催となります)
発表者
猪奥 倫左 氏 (東北大学 大学院理学研究科)
題目
Non-uniqueness for a critical heat equation in two dimensions with singular data
要旨
We consider non-uniqueness for nonlinear heat equations in two dimensions. For higher dimensions, uniqueness and non-uniqueness is well understood by Brezis-Cazenave and Ni-Sacks. In this talk we focus on exponential nonlinearities as a critical growth in two dimensions and reveal that non-uniqueness result arises from the singular stationary solution.