本発表は, Kenig--Merleによる結果[Invent. Math. 2006]の総合報告である. プラズマ中のLangmuir波などのモデルを記述する非線形Schrödinger方程式は, 非線形項の符号により, 誘引または反発型に分けられ, 誘引型では爆発現象が起こり得る. 一方, 誘引型の時間大域適切性を与える初期値の閾値は, 方程式の基底状態解である ことが知られている. Sobolev臨界冪の非線形項に対しては, 劣臨界の場合と異なり, 解の$H^1$ノルムの先験的評価のみでは時間大域適切性を論じることができない. Kenig--Merleは, Gérard, Keraaniらが与えた$H^1$有界函数列に対する プロファイル分解を用いてこれを克服し, 定常解で与えられる Sobolev最良定数未満の初期値に対する, 非線形Schrödinger方程式の 時間大域適切性を球対称の場合に証明した. 本発表では, その証明の概略を述べる.

本発表では，S. Koike, K. Nakagawa, “Remarks on the Phragmén-Lindelöf theorem for $L^p$-viscosity solutions of fully nonlinear PDEs with unbounded ingredients,” Electronic Journal of Differential Equations 146 (2009) 1-14 の論文紹介を行う． 一般に，非有界領域において最大値原理を考えることは困難であるが，空間遠方で 解の増大度に関する適切な条件を課すことによって，ある非有界領域において 最大値原理が成り立つことが知られている．これを Phragmén-Lindelöf の定理という． 発表では，$L^p$-粘性解について定義し，その性質を紹介したのち，完全非線形２階 楕円型偏微分方程式の$L^p$-粘性解に対する Phragmén-Lindelöf の定理を紹介する．

We consider the Cauchy problem for the quasi-geostrophic equations in 2 space dimensions with initial data. We use classical methods to construct strong solutions, and investigate the weakly linear behaviour of these solutions for large time in the critical and supercritical cases. In particular, we seek an optimal decay estimate, for the $L^q$-norm with $1 \leq q \leq \infty$, of an approximation of the solution by linear functions. We propose that the decay rate proven is optimal, as the approximation of the non-linear part of the solution can be bounded from both above and below, by the same power of time as the decay rate.

誘引-反発型走化性方程式系は Luca--Ross--Keshet--Mogilner によって, 免疫系脳細胞であるミクログリアの走化性挙動を記述する方程式として提唱された. 特にミクログリアの挙動はアルツハイマー病の症状に大きく影響し, ミクログリアに対する化学物質は誘引作用が高い場合は当症状の悪化, 反発作用が高い場合は当症状の軽減が推測される. 本発表では, 誘引-反発型走化性方程式系の初期値問題に対して空間3次元以上における化学物質の誘引作用が高い条件の下での解の有限時刻爆発について述べる.

亀裂の発生や進展の数理解析は近年，1998年にFrancfort-Marigoによって提唱された材料内の弾性エネルギーと亀裂の表面エネルギーの収支に着目した発展則を基礎に展開し，Francfort-Marigoエネルギー（以下，FMエネルギー）と呼ばれる汎関数の最小化問題など，変分解析の立場から盛んに研究されている．亀裂集合のハウスドルフ測度を含むFMエネルギーを正則化する手法の1つに，材料の損傷程度を相変数で表すフェーズフィールド法が知られている．ここでは，Ambrosio-Tortorelliによるフェーズフィールド法を用いたFMエネルギーの正則化に着目し ，亀裂の準静的過程に対応する偏微分方程式系を導出する．フルシステムは脆性破壊に由来するいくつかの特徴的な構造を持つが，本発表ではその特徴的な構造を共有する単純化された発展方程式を考え，その適切性や解の持つ定性的性質について述べる．

本発表では, 高階放物型方程式の初期値問題の解の正値性について考察する. 二階放物型問題においては, 非負である任意の初期値に対する解は時空大域的に正値となる, 所謂, 正値性保存則が広く成立することが知られている. 一方, 高階放物型問題においては, 最も単純な重調和熱方程式に対する初期値問題 (P) においてさえ, 正値性保存則は一般に成立しない. 一般次元に対する問題 (P) の解の正値性に関する結果としては, 「ある時刻 T とコンパクト集合 K が存在し, 解は T 以降で K 上で正値となる」という, 時間終局的かつ空間局所的な正値性が成り立つような初期値のクラスが幾つか構成されているのみである. 本発表では, 問題 (P) の解が時空上で大域的に正値となるための十分条件を与える. さらに, この結果を応用し, 冪乗型非線形項をもつ半線形重調和熱方程式の初期値問題に対して, 時間大域的な正値解を構成する. なお, 本発表の内容は Hans-Christoph Grunau 氏 (Magdeburg University) と岡部真也氏 (東北大学) との共同研究に基づく.

イオン化プラズマ内のLangmuir波を記述する量子Zakharov系 に対する爆発解の存在について考える. 量子Zakharov系は通常のZakharov系に量子効果による4階の項が加わった 系であり, 4階Schrödinger方程式と4階波動方程式の連立系となる. 本発表では, 空間次元が6以上9以下である場合に, 有限時間または無限時間 で爆発する解の存在をvirial等式と分散型評価を用いて証明する方法について 紹介する.

This talk is concerned with a reaction-diffusion-ODE system in non-uniform media. The system consists of a diffusive species and a non-diffusive species and models biological pattern formation. I shall prove the existence of (i) stationary solutions for all values of the diffusion coefficient D by applying a generalized mountain pass lemma, (ii) stationary solutions with transition layer for D sufficiently small by applying the singular perturbation method, and (iii) monotone stationary solutions for D sufficiently large by the upper and lower solution method. Also, the asymptotic stability of stationary solutions is studied.

Kuramoto-Sivashinsky方程式(KS)はKuramoto-Tsuzuki(1976)により 複素Ginzburg-Landau方程式の平面波解が時空間に緩やかな不安定化を示す際に 散逸の効果が強い場合の位相の変化を記述する方程式として; またSivashinsky(1977)により火炎面の伝播を記述する方程式として導入された． 更にDandekar-Collins(1995)でベクトル場による移流の効果を取り入れたモデルが建てられた． Galaktionov-Mitidieri-Pohozaev(2008)では一次元区間の場合に様々な境界条件を課した 初期値境界値問題が取り扱われ，大域解の存在と非存在が考察された． 特に斉次Dirichlet境界条件を課すと一意時間大域解の存在が示された． また，Feng-Mazzucato(arXiv:2009.04029)では２次元トーラス上で時間大域解の一意存在が示されている． 本研究では，空間次元N=2,3の場合に有界領域上で斉次Dirichlet境界条件を課した初期値境界値問題を考察し， Ôtani (1982)で構築された非線型放物型方程式の非単調摂動理論の観点から得られた結果について報告する．

3次の冪を有する空間1次元非線型Schrödinger方程式の初期値問題に対し, Kita-Shimomuraは非線型冪の係数を実数から虚部が負となる複素数に拡張することで, 実数係数の場合は保存される解の総質量が時刻無限大で減衰することを示した. ここでは解の質量が減衰するための臨界指数となる3次の臨界冪を持った 消散型非線型Schrödinger方程式に対して, Gevreyクラスにおける時間大域解を構成し, Gevrey指数に応じてその質量が時間遠方で速く減衰することを述べる.

Hall効果を持つ磁気粘性流体方程式系 (以下, Hall-MHD) は 磁気リコネクションが引き起こす, オーロラの生成過程や核融合 を制御するためのシミュレーションに用いられる物理モデルである. 非圧縮性Hall-MHDに対しては, 磁場が空間遠方で消滅する仮定の下で, 2014年に Chae-Degond-Liuにより, 非斉次Sobolev空間上での時間大域適切性が証明されている. 本発表では, 空間遠方で定数磁場が働くHall-MHDの時間大域適切性を 臨界Fourier-Besov空間の枠組みで考察する. 特に, 証明の鍵である Fourier-Besov空間を基調にしたChemin-Lerner空間上の 解の最大正則性評価について詳しく述べる.

We consider the inhomogeneous Neumann-boundary value problem for nonlinear Schrödinger equations with a power nonlinearity in the upper half space.　We present some results on global existence in time and time decay of small solutions to integral equations associated with the original problem. This is a joint work with E.Kaikina and T.Ogawa.

１次元ランダムシュレーディンガー作用素はそのポテンシャルの空間遠方での減衰オーダーにより様々なスペクトル構造, 及び準位統計（固有値の局所分布）を持ち, 特に「臨界オーダー」においてはランダム行列理論におけるベータアンサンブルのスケール極限と密接に関連する. 発表では, 固有値と対応する固有関数のなすランダム測度を考え, そのスケーリング極限を調べた結果について報告する.

これまで, Laplace 作用素の膨大な結果が $p$-Laplace 作用素に一般化されてきた. その過程で様々な技法が開発され, 多くの場合, 自然な一般化が成し遂げらている. その一方で, $p$-Laplace 作用素の非線形性により, 線形化することができずに, その解析に困難を伴うことがしばしばある.

本発表では, $p$-Laplace 作用素をもつある楕円型方程式の研究にも現れる２次元非線形系の原点まわりの解の挙動を調べる. その非線形系は, 原点近傍において直接には, 線形化することはできないのだが, 系をある種の摂動問題としてとらえることで, 線形化に似たようなことが可能となる. その結果を楕円型方程式に応用して, 新たな結果が得られることなどを紹介したい.

本発表は, 板倉健太氏, 鬼塚政一 (岡山理科大学) との共同研究に基づくものである.