をYang-Baxter 方程式という. 個ある行列要素 を, 2つの状態 0,1 をもつ原子4つを(45度傾けた)正方形状に と 配置したときの局所エネルギー(Boltzmann 荷重)と定めることで統計力学系ができ, は系のパラメータとなる. 8 頂点解とよばれる楕 関数解 からは (行転送行列の) に関する展開でHeisenberg の XYZ スピン模型 [8]も得られ, Baxter は(1)を巧妙に用いてXYZ 模型の熱力学極限を調べた.
彼は更に 8 頂点解が定める 2 次元格子上の模型の分配関数を求めるため,以下の 角転送行列を考えた.一辺 2N の碁盤を考え, 各格子点 (m,n) に集まる 4 辺の中点に上の原子をのせる. x 軸上, にある原子たちの状態 を, 0と1の列 で指定する. y 軸上方についても で状態を指定する. 第1象限の境界でこれらの状態が実現される確率 は の積和で定まる. が第 1 象限の角転送行列で, サイズの巨大正方行列である. 分配関数は各象限の角転送行列の積のトレース=固有値の和となる.Baxter は数値実験を重ね, では固有値は全てある x の羃であり,トレースが
の左辺で与えられることを発見した.[9] ここで は原点の状態を指定し, (2)をRogers-Ramanujanの恒等式という. 極限 が全ての状態が等確率でおきる系の相転移点にあたる. 左辺では難しいが, 右辺より保型性をもつので挙動が調べられる. のとき と書くと, 保型性とは
という関係で,極限 は`低温' に帰着される.保型性がこういう物理に現れるとは誰も思わなかっただろう.