Study Group "Functional Analysis and Applications"

Coordinator： Goro Akagi

Series Lectures

• "Variational Methods in Continuum Mechanics of Solids" 他
• 講師:Martin Kruzik 氏（チェコ科学アカデミー）
• 日時・講義題目:
  2025 年 01 月 20 日（月）16:00-17:00 "Non-interpenetration of Matter in Lower-Dimensional Structures"（数学専攻談話会と合同）
  2025 年 01 月 21 日（火）10:00-12:00 "Variational Methods in Continuum Mechanics of Solids"
  2025 年 01 月 21 日（火）14:00-16:00 "A Model of Viscoelastic Solids"
• 場所:川井ホール
• 講義概要:
  Lecture 1: "Non-interpenetration of Matter in Lower-Dimensional Structures"
  The non-interpenetration of matter presents a well-known challenge in the study of solid elastic materials, involving both analytical and geometrical considerations. In bulk models, the concept of non-interpenetration is relatively well understood, although many open problems remain. However, in lower-dimensional structures such as plates and rods, the situation is less clear. Focusing on rods in the plane, we will introduce a possible concept for non-interpenetration and present a density and Γ-limit result. This is joint work with B. Benesova, D. Campbell, and S. Hencl (all based in Prague).
  
  Lecture 2: "Variational Methods in Continuum Mechanics of Solids"
  In 1830, B. Bolzano observed that continuous functions achieve their extreme values on compact intervals of the real line. This concept was significantly expanded around 1900 by D. Hilbert, who developed the framework known as the direct method, which allows for proving the existence of minimizers and maximizers of nonlinear functionals. A key element in this framework is the role of semiconti- nuity. In 1965, N.G. Meyers made a major advancement by extending the available results on lower semicontinuity for integral functionals depending on maps and their gradients. We will trace the development of this topic from Meyers’ contribution onwards, with particular attention to applications in the continuum me- chanics of solids. Specifically, we will review results relevant to nonlinear elasticity, highlighting the crucial role of convexity and subdeterminants of matrix valued gradients. Finally, we will discuss some open problems and outline potential generalizations of these results to more general first-order partial differential operators, with applications extending to fields such as electromagnetism.
  
  Lecture 3: "A Model of Viscoelastic Solids"
  We develop a quasistatic nonlinear model for nonsimple viscoelastic materials in the finite-strain regime, grounded in Kelvin-Voigt rheology. In this model, the viscosity stress tensor complies with the principle of time-continuous frameindifference. Weak solutions in the nonlinear setting are obtained as limits of time-incremental problems as the time step approaches zero. Additionally, we show that linearization around the identity yields the standard system for linearized viscoelasticity, and that solutions of the nonlinear system converge, in an appropriate sense, to those of the linearized system. This convergence also holds for time-discrete approximations, for which we establish a commutativity result. This work is based on joint research with M. Friedrich (Erlangen).
  


• ミニマイジングムーブメントスキームとその応用 (Minimizing Movement Scheme and Its Applications)
• 講師:三村 与士文 氏（日本大学文理学部）
• 日時・場所:
  2024 年 07 月 08 日（月）13:00-15:10 数学棟305
  2024 年 07 月 09 日（火）16:00-18:10 合同棟801
  2024 年 07 月 11 日（木）10:00-12:10 合同棟801
  2024 年 07 月 12 日（金）10:30-11:30 数学棟201 / 13:00-14:00 数学棟209
• 講義概要: Euclid空間における勾配流とMinimizing movement schemeを導入し、非勾配流となる散逸系やハミルトン系への応用を議論しながらEuclid空間でのMinimizing movement schemeをモデルケースとして扱う.その後、その対象をEucilid空間からHilbert空間、距離空間、確率測度空間へと発展させ、具体例を交えながらその汎用性や長所・短所などについて議論する. 最後に、勾配流として表すことができない偏微分方程式系への応用を述べ、今後の更なる汎用性拡大の可能性や課題について議論する.

Lectures

• 第 6 回 2025 年 05 月 30 日 (金) 14:30 ～
  • 講師: 岡 大将 氏（福岡工業大学）
  • 講義題目:拡散方程式に対する最適設計問題の近似解の構成について
  • 場所: 数学棟 209 室
  • 講義概要: 本講演では, 二つの材料から成る領域内で拡散方程式を考え, 外力による時間平均エネルギーを最小化するような二材料領域について考察する. このような問題は最適設計問題と呼ばれ, 境界の形状のみならず位相の変更も許容されることから, トポロジー最適化として工学的に知られている. 最適設計問題では, 最適解が一般に存在せず, 均質化理論に基づいた等価な緩和問題に対して, 最適解が存在することが知られている. そのため, エネルギーが最小値に近く, 中間領域を極力含まない領域が最適解となる近似問題を構成することが工学的な課題となる. 本講演では, レベルセット関数による形状表現を採用し, レベルセット関数に対するDirichletエネルギーを摂動させた最適化問題を近似問題として扱う. 定常状態では, 楕円型方程式の変分構造により凸最適化へと帰着でき, 近似問題としての妥当性も得られ, 近似解を数値的に構成することができる. 一方, 非定常状態では, 勾配構造はあるものの, 定常状態と同様の変分構造は持たず, 非凸非線形最適化問題として扱う必要があり, 最適性の議論は困難になる. 本講演では, 最適化されたレベルセット関数の長時間挙動に注目した最適条件について紹介する. その際, 近似問題としての妥当性についても考察し, 最適条件の数値検証結果についても紹介する. なお, 本講演は松島慶氏(東京大学)との共同研究に基づく.
  
  
• 第 5 回 2023 年 06 月 16 日 (金) 13:30 ～
  • 講師: 岡 大将 氏（東京大学大学院工学系研究科）
  • 講義題目: Optimal design problem with geometric constraints for manufacturing
  • 場所: 理学研究科合同 A 棟 1201 室
  • 講義概要: 本発表では, 製造性を考慮した最適設計問題について考察する. 最適設計問題は, 考察対象となるエネルギーを最小化する集合を決定する問題であり, 最適解の存在定理を証明する際に均質化問題が重要な役割を果たす. (周期的)均質化問題は, (周期的に)振動するような係数行列場を伴う偏微分方程式に対して, 振動(周期)パラメータに関する解の極限が満たす均質化方程式や解の漸近挙動について考察する問題である. 発表の前半では, 最適設計問題の代表例として知られている２材料の熱伝達問題について考察し, 対応する均質化問題を通じて最適解の存在定理を紹介する. また, 非線形放物型方程式を応用したレベルセット法に基づいて最適化された集合についても紹介する. 発表の後半では, 製造性を考慮した幾何学的制約付きの最適設計問題について考察する. ここでは, ある楕円型方程式の解を用いた距離関数の構成方法を複合領域の場合でも適用できるように拡張して符号付き距離関数を構成する. さらに, 符号付き距離関数を用いて厚みや曲率を制約するための汎関数を構成し, 幾何学的制約汎関数として導入する. その際, 最適化された集合についても紹介する.
  
  
• 第 4 回 2022 年 06 月 24 日 (金) 14:00 ～
  • 講師: 上田 好寛 氏（神戸大学大学院海事科学研究科）
  • 講義題目: 時間遅れを考慮した粘性Burgers方程式の時間大域解の存在について
  • 場所: 理学研究科合同 A 棟 803 室
  • 講義概要:粘性項をもつBurgers方程式は流体現象を記述する比較的単純な方程式として有名であるが、その適用例として交通流の数理モデルとしても知られている．ここでは，より複雑な現象を記述するために時間遅れを考慮した粘性Burgers方程式を考察し，時間遅れの効果が時間大域解の存在性や漸近安定性にどのように影響を及ぼすかについて考察を行う．
  
  
• 第 3 回 2022 年 06 月 17 日 (金) 16:30 ～
  • 講師: 岡 大将 氏（東京大学大学院工学研究科）
  • 講義題目: 非線形発展方程式を応用したトポロジー最適化について
  • 場所: 理学研究科合同 A 棟 803 室
  • 講義概要: 与えられた材料に対して，その剛性や熱伝導性などを始めとした物性を最大化させる手法としてトポロジー最適化が知られている．トポロジー最適化は，構造最適化の一種であり，構造最適化は主に，寸法最適化，形状最適化，トポロジー最適化に分類される．特に，トポロジー最適化は，材料内に穴を空けてトポロジーの変化を許容するため，最も自由度の高い構造最適化として認知されている．本発表では，トポロジー最適化に関する数学的な概要について述べ，より実用的な手法について考察する．特に，最適構造への速い収束性や汎用性について焦点を当て，いくつかの最適化手法について述べる．さらに，これらの手法を剛性最大化問題に適用し，その数値例について紹介する．その際，発表者のこれまでの研究成果との関連性や様々な非線形発展方程式が最適化手法として応用されることについても紹介する．
  
  
• 第 2 回 2018 年 11 月 13 日 (火) 15:00 ～
  • 講師: 渡邉 紘 氏（大分大学工学部）
  • 講義題目: 双曲型単独保存則とエントロピー解
  • 場所: 理学研究科合同 A 棟 203 室（理学部第 1 共通講義室）
  • 講義概要: 本講義では双曲型単独保存則について考える。まずバーガーズ方程式などを例にとり、 解が不連続になることや超関数の意味の解が一意的に定まらないことを確認する。 次に、解を一意的に定める条件としてエントロピー不等式を導出する。エントロピー 不等式を満たす超関数解をエントロピー解と呼び、その存在、一意性について解説する。 時間があれば2階の項を付け加えた放物型・双曲型保存則や関連する話題にも触れる。
  
  
• 第 1 回 2018 年 10 月 5 日 (金) 13:00 ～
  • 講師: 三村 与士文 氏（日本大学文理学部）
  • 講義題目: 確率測度空間での勾配流
  • 場所: 理学研究科合同 A 棟 508 室

This study group is supported by JSPS KAKENHI Grant Numbers JP24H00184, JP21KK0044, JP21K18581, JP20H01812, JP18K18715 and JP20H00117, JP17H01095.