小林真一氏の研究は p進 Gross-Zagier 公式についてのもので, これはよく知られたところとの関係では ミレニアム懸賞問題にもなっている Birch and Swinnerton-Dyer予想（ＢＳＤ予想）との関わりが深いものです. ＢＳＤ予想は, 楕円曲線と呼ばれる曲線についての整数論の予想です. 楕円曲線はフェルマーの定理の話の中でも出てくるので 知っている方も多いかと思います.

    楕円曲線のの有理点（各座標が有理数になる点）の 集合は群の構造を持つことが知られていますが, 具体的にそれを調べる手法はまだ完全ではありません. そんな中で, ひとつの研究対象として 楕円曲線の Ｌ関数というものがあります. これは曲線の方程式を各素数 p について mod p で見たときの 情報をまとめることによって定義される関数で, 有名なリーマン・ゼータ関数に似たものです. ＢＳＤ予想はこのＬ関数 L(s) の s=1 での位数 （s=1 でテイラー展開したときの (s-1) の先頭の次数） が, その楕円曲線の有理点の群の階数 （例えば階数０なら有理点が有限個であることを意味する） に一致する, ということを予想するものです. またさらにそのテイラー展開の先頭項の係数が, その曲線の数論的な重要なデータで記述されることについても 予想しています.

    元々の Gross-Zagier 公式は上記のＬ関数の微分の s=1 での 値を記述した公式であり, それによってＬ関数の位数が１のとき ＢＳＤ予想が正しいことが導かれました. 小林氏の研究は この理論の p進的な類似を考えたものであり, 同じくＢＳＤ予想の部分的解決について応用できます.