黒木 玄【Kuroki Gen】助教

研究分野

数理物理学への無限次元Lie代数と量子群の表現論の応用

興味をもっている研究対象や理論

Virasoro代数の無限次元の対象性を持つ量子場の理論を(量子)共形場理論と呼ぶ.現在では頂点代数の言葉で 様々な共形場理論を表現論的に記述することができるようになっている.  

アフィンLie代数の対称性を持つ共形場理論(WZW模型)は特に重要であり,多くの研究がなされている.その基本方程式であるKZ方程式は多変数超幾何函数で表現できる解を持っている.そしてその多変数 超幾何函数解をアフィンLie代数の表現論(ボゾン化の理論)から出すことができる.

 WZW模型は有限次元複素単純Lie群とレベルkと呼ばれるパラメーターを与える ごとに決まる.レベルkをある値(臨界レベル)にするとWZW模型は量子可積分系を記述している.その量子可積分系は幾何的Langlandsプログラムにおける“automorphic side”になっているだろうと予 想されている(Beilinson-Drinfeld).

通常の共形場理論は量子系である.KZ方程式の古典極限は実は確定特異点型の有理接続のモノドロミー保存変形を記述する非線形微分方程式の量子化になっていることが知ら れている(Reshetikhin, Harnad).この結果を不確定特異点型の場合を含むモノドロミー保存変形の理論全体に拡張することは重要かつ基本的な問題である.モノドロミー保存変形の理論では離散的対称性も重要な役目を果たすので共形場理論でも同様だと予想されるが,まだ満足な研究結 果はないように思われる.パンルヴェ系はモノドロミー保存変形と深く関係して いるので,共形場理論は量子パンルヴェ系と深く関係しているはずである.

以上の結果のq差分化の構成も重要な問題である.そのためには量子群の理論が基本的な道具になる.

研究指導にあたって

 基礎的なことを数学的に正確に理解するだけではなく,自分が研究していることのどこがどう面白いかを自分で説明できるような理解を目標にして欲しい.そのためには,定義・定理・証明という流れを論理的に追うだけではなく,当然 知っておかなければいけない様々な具体例の様子を詳しく知っていて,アイデア がどこから来ているかを知っていることが重要である. そのためには研究対象の周辺分野に関する広い知識が必要になる.初学者にはどこにどのように面白い話が落ちているかを見付けるのは難しいかもしれないので,毎週のセミナーのときに必要な周辺知識や基本的な考え方について補足するつもりである.しかし,最終的には自力で面白そうな話を探しだせるように努力しなければいけないと思っている.

学び始めるために必要な予備知識

 大学4年間で教わること以外に,Lie群とLie代数の表現論,コンパクト・リー マン面,解析力学(特にHamilton系),量子力学などについてある程度の知識があ ることが望ましい.様々な分野について広い知識を持っていることが好ましい が,計算力さえあれば理解できることも多いので,広い知識を身に付けることが 苦手な人は正確で地道な計算力を身に付けるようにして欲しい.

備考

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