エルゴード的な系では、単一の軌道に対して、時間平均により得られる観測量は時間無限大の極限で一定値に収束する。特に、平衡系では、この一定値は、初期状態には依存せず、平衡分布による平均値と一致する。したがって、同じ条件の下で観測すれば、観測結果は不変である。つまり、エルゴード的な系は再現性を持つ。本講演では、連続時間ランダムウォークにおける拡散性（平均２乗変位）は再現性を持たないが分布的な再現性を持つことを紹介する [1,2]。連続時間ランダムウォークは、ランダムなポテンシャルエネルギー空間上のランダムウォーク（トラップモデル）をアニールした（空間的な不均質性は考えず、ランダムポテンシャルが常に時間変化している）モデルである。本講演では、さらに、このトラップモデルに対して、系のサイズが有限であるとき、系はエルゴード的であり、時間平均で定義された平均２乗変位は再現性を持つが、ある温度（ガラス温度）以下では、たとえ系のサイズを大きくしても、同じ値には収束せず、不均質さのサンプルに強く依存する（サンプルのゆらぎに起因して拡散性が大きく変わる）ことも示す[3]。換言すれば、ガラス温度以下では、大数の法則が破れ、拡散性はサンプルに依存して本質的にランダムになる。
 
参考文献
[1] Y. He, S. Burov, R. Metzler, and E. Barkai, Phys. Rev. Lett. 101, 058101 (2008).
[2] T. Miyaguchi and T. Akimoto, Phys. Rev. E 87, 032130 (2013).
[3] T. Akimoto, E. Barkai, and K. Saito, Phys. Rev. Lett. 117, 180602 (2016).

ネットワークモデルにおいてコストは first-passage percolation を用いて定式化することが可能である。ネットワークを構築する機器達が（ランダムに）動き出した時に同様にコストを数学的に定式化することに興味がある。本講演では機器達の動きが流体力学極限として定式化されている時にコストの漸近的振る舞いを与える。

Gubinelli-Imkeller-PerkowskiのParacontrolled calculusによりある種の特異な非線形確率偏微分方程式について解の理論が構築されたが、一般論からは時間局所解の一意存在しか分からない。本講演では、タイトルの２つの方程式について時間大域解の存在について述べる。

I will discuss Hamilton-Jacobi equation in the space of probability measures.
 
Two types of applications motivate the issue: one is from the probabilistic large deviation study of weakly interacting particle systems in statistical mechanics, another is from an infinite particle version of the variational formulation of Newtonian mechanics.
 
In creating respective well-posedness theories, two mathematical observations played important roles: One, the free-particle flow picture naturally leads to the use of the optimal mass transportation calculus. Two, there is a hidden symmetry (particle permutation invariance) for elements in the space of probability measures. In fact, the space of probability measures in this context is best viewed as an infinite dimensional quotient space. Using a natural metric, we are lead to some fine aspects of the optimal transportation calculus that connect with the metric space analysis and probability.
 
Time permitting, I will discuss an open issue coming up from the study of the Gibbs-Non-Gibbs transitioning by the Dutch probability community.
 
The talk is based on my past works with the following collaborators: Markos Katsoulakis, Tom Kurtz, Truyen Nguyen, Andrzej Swiech and Luigi Ambrosio.

ベキ零群を被覆変換群とするような有限グラフの被覆グラフのことをベキ零被覆グラフと呼ぶ。結晶格子(特に被覆変換群が アーベル群の場合)上のランダムウォークに関してはすでに様々なアプローチが図られ多くの結果が得られている。ベキ零被覆グラフ上のランダムウォークについては、対称な場合に幾つかの極限定理が知られているものの、非対称な場合にはあまり研究が進展していないように思われる。本講演では、ベキ零被覆グラフ上の非対称ランダムウォークを考察し、ある条件下で汎関数中心極限定理が成り立つことを報告する。本講演の内容は、石渡聡氏(山形大)および河備浩司氏(岡山大)との共同研究に基づく。

サイズの大きい順にループを消去する方法は，シェルピンスキー・ガスケット上のシンプル・ランダム・ウォークからループを消去するために導入されたが，この方法は非マルコフ過程に対しても適用できる．特に，自己反発ウォークとよばれる非マルコフ的なランダム・ウォークの族にこの方法を適用し，「通常の」ループ・イレーズド・ウォークと「通常の」自己回避ウォークをあるパラメータで連続的に内挿する，自己回避的な確率過程の族を構成することができる．本講演では，このようにして構成した確率過程の族に対して連続極限が存在することや，自己回避性，ハウスドルフ次元（自明な自己回避過程でないこと），短時間挙動を表す指数，重複対数の法則などの見本関数の性質を示す．

We study the horizontal diffusion of a totally geodesic Riemannian foliation. We particularly focus on integration by parts formulas on the path space of the diffusion and present several heat semigroup gradient bounds as a consequence. Connections with a generalized sub-Riemannian curvature dimension inequality are made.

本講演では，緩やかなノイズ(mild noise)の入ったAllen-Cahn方程式の特異極限について論じる．この「緩やかなノイズ」は，時間変数 t について滑らかで，ある微小パラメータepsilonを0に近づけると次第にホワイトノイズとして振る舞う性質のものである．この問題は，最初に舟木直久氏によって空間２次元の場合に研究され(1999)，特異極限下で現れる界面(sharp interface)の運動方程式が曲率流にホワイトノイズを加えた形になることが証明された．この結果は，H. Weber (2010) によって高次元の場合に拡張されている．本講演では，Funaki, Weberの論文で扱われなかった次のテーマについて論じる．
 
(1) 初期時刻の直後で起こる遷移層の形成 (generation of interface)
 
(2) 界面付近の遷移層の形状がノイズで破壊されないことの証明

無限個粒子を持つ平行移動不変な点過程には確率１で密度（densityもしくはintensity）が存在する。この点過程を可逆測度とする（配置空間値）拡散過程を考える。この拡散過程には任意の時刻で密度が存在し、かつ分布の意味で密度が不変であることは、平行移動不変点過程を可逆測度としていることから明らかである。当講演では、この拡散過程が時間発展において密度が不変であること、つまり容量のレベルで拡散過程は密度を変えないということを話す。
また、この密度保存性と長田-種村の結果を使うことによって、ある種類の無限次元SDEが一意的な強解を持つことを導出できる。時間があれば、どういう種類の無限次元SDEに応用できるかを説明したい。

本講演では、確率反応拡散方程式に対する鋭敏な界面極限を扱う。具体的にはディリクレ境界条件を持つ1次元確率アレン・カーン方程式を考察する。この方程式は界面の挙動を記述し、十分小さいパラメータε > 0により界面の幅が特徴付けられる。特にεを限りなく小さくした時の解の挙動に興味がある。この場合、ディリクレ境界条件のため極限における界面の運動は反射壁を持つブラウン運動になることが予想される。そこで解を$L^2$-値のマルコフ過程とみなし、それに対応するディリクレ形式のモスコ収束により、極限での界面の挙動を特定する。

Ginibre点過程の劣拡散性の証明を中心に話をします．

非線形双曲型偏微分方程式の数値解析において、数値粘性と呼ばれるある種の拡散効果が観察される。本講演では、この効果が非一様ランダムウォークで特徴付けられることを見る。これはラプラシアンが有する拡散効果の確率論的特徴付けを想起させる。さらにこの方法によって、差分法の収束が大数の法則によって見通しよく議論できることを見る。従来の数値解析の枠組みでは得られなかった差分法の安定性・収束・誤差評価などに関する新たな結果も紹介する。時間が許せば、弱KAM理論と呼ばれる力学系理論の数値解析への応用についても触れたい。

ハミルトン・ヤコビ方程式は解析力学の基礎的な方程式の一つであると同時に前線の伝播を記述する方程式としても知られる。ネットワークやフラクタル、無秩序系での伝播の数学的表現として講演者は一般化された空間上のハミルトン・ヤコビ方程式の研究を進めてきた。そこで本講演ではまずハミルトン・ヤコビ方程式の導入として、その粒子系的な導出を熱方程式の場合と比較しながら行う。そして、一般の完備測地的距離空間上のハミルトン・ヤコビ方程式を導入し、最近の研究成果である粘性解の時間漸近挙動を紹介する。なお、本講演の内容の一部は東京大学の難波時永氏との共同研究に基づく。

I will survey some recent work regarding the scaling limits of random walks on trees, as well as the scaling of the associated local times and cover time. The trees considered will include self-similar pre-fractal graphs, critical Galton-Watson trees and the uniform spanning tree in two dimensions.

We prove an almost sure functional limit theorem for a random walk in an space-time ergodic balanced environment under certain moment conditions. The proof is based on the maximal principle for parabolic difference operators. We also deal with the non-elliptic case, where the corresponding limiting diffusion matrix can be random in higher dimensions.
This is a joint work with N. Berger, X. Guo and A. Ramirez.

We consider a discrete model of coagulation, where a large number of particles are initially given a prescribed number of arms. We successively choose arms uniformly at random and bind them two by two, unless they belong to "large" clusters. In that sense, the large clusters are frozen and become inactive. We study the graph structure obtained, and describe what a typical cluster looks like. We show that there is a fixed time T such that, before time T, a typical cluster is a subcritical Galton-Watson tree, whereas after time T, a typical cluster is a critical Galton-Watson tree. In that sense, we observe a phenomenon called self-organized criticality.

多次元正方格子の各点に，(独立同分布に)ランダムなポテンシャルを配置する．このとき，ポテンシャルによって重み付けられた測度の下で，ランダムウォークが原点からある点へ移動するために必要とするコスト(到達コスト)を考える．到達コストの大まかな漸近挙動は，ZernerやMourratにより既に調べられている．そこで本講演では到達コストに対するconcentration inequalityを取り扱うことで，到達コストとその期待値の誤差を評価し，漸近挙動についてより詳しく調べる．

Relative Entropy and entropy production have been main tools in obtaining hydrodynamic limits Entropic hypo-coercivity can be used to extend this method to dynamics with highly degenerate noise. I will apply it to a chain of anharmonic oscillators immersed in a temperature gradient. Stationary states of these dynamics are of ’non equilibrium’, and their entropy production does not allow the application of previous techniques. These dynamics model microscopically an isothermal thermodynamic transformation between non-equilibrium stationary states.
Ref: http://arxiv.org/abs/1505.05002

熱伝導現象は日常的な物理現象であり、よく知られているようにフーリエの法則がもっとも普遍的で重要な法則となる。フーリエの法則には、エネルギーが拡散方程式に従って拡散するという、ミクロな拡散メカニズムが背景にある。しかしながら、このような現象は低次元系では一般に成り立たなくなり、異常な拡散が逆に普遍的になる。低次元系の熱輸送は９０年代後半に数値計算の進歩から数値的に示され、最近では実験も存在する。ある種の可解系も提案され、この分野は現在、実験、物理、数学とそれぞれからのアプローチが可能となった学際的分野に成長した。本講演では、時代をおってこれらの進展を説明するとともに、最近注目されているレビーウォーク拡散からの現象論的解釈、また界面成長を記述するKPZ方程式と密接な関係を示す流体力学的ゆらぎの理論を議論する。

RCD*(K,N)空間とは, Erbar-Kuwada-Sturmによって導入された測度距離空間のクラスで, 「次元N以下, Ricci曲率K以上」という概念を測度距離空間上に一般化した概念である. RCD*(K,N)空間上では, Cheeger energyから定まるDirichle形式が正則になることが知られており, 対応するMarkov過程は, Brown運動と呼ばれる. 本講演では, RCD*(K,N)空間で直径D以下という条件の下,「 空間がmeasured Gromov-Hausdorff収束する」ことと,「 Brown運動が収束する」ことが同値であることを示す.

I will first introduce multilevel Dyson Brownian motions and review how those extend to the setting of beta random matrix theory. Then, I will describe a connection between multilevel Dyson Brownian motions and interacting particle systems on the real line with local interactions. This is the first connection of this kind for values of beta different from 1 and 2. Based on joint work with Vadim Gorin.

Random fields of gradients are a class of model systems arising in the studies of random interfaces, random geometry, field theory, and elasticity theory. These random objects pose challenging problems for probabilists as even an a priori distribution involves strong correlations, and are likely to be an universal class of models combining probability, analysis and physics in the study of critical phenomena. They emerge in the following three areas, effective models for random interfaces, Gaussian Free Fields (scaling limits), and mathematical models for the Cauchy-Born rule of materials, i.e., a microscopic approach to nonlinear elasticity. The latter class of models requires that interaction energies are non-convex functions of the gradients. Open problems over the last decades include unicity of Gibbs measures, the scaling to GFF and strict convexity of the free energy. We present in the talk first results for the free energy and the scaling limit at low temperatures using Gaussian measures and rigorous renormalisation group techniques yielding an analysis in terms of dynamical systems. The key ingredient is a finite range decomposition for parameter dependent families of Gaussian measures.
(partly joint work with S. Mueller & R. Kotecky)

正の定速ドリフトに負の compound Poisson 過程(共通分布は F)を加えた加法過程 { X (t) } が, 負領域へ到達する最小時刻を T_0 とする. よく知られた保険会社の収支モデル(Lundberg model) では, T_0 が倒産時刻となる. 我々は, F が "デルタ測度の線形結合 =D" であるとき, 同時分布　
$$
v (x) ={\mathbf E}_x \big[ e^{- \alpha \, T_0 + i \, \beta \, X(T_0) }\, \big],
\quad x \geq 0, \ \alpha \geq 0, \ \beta \in {\mathbb R}^1.
$$
の具体型を以下の方法で求めた.
(i) $v(0)$ を Feller の補題を利用して計算,
(ii) $v(x)$ が満たす積分微分方程式を用意し, $v(0)$ から $v(x)$ を導出.
従来は F が指数分布以外では, $v(x)$ の具体型は知られていなかったが, D は確率測度空間の中のdense subset なので, これにより, 任意の F にたいし近似解が構成でき, 精密な近似定理を得ることが出来た. 更に, F が ``\,実数を径数とするガンマ分布\,'' や ``\,truncated exponential distribution\,'' の場合にも, 新たに厳密解 $v(x)$ を得ることが出来る.

確率偏微分方程式の解は一般に超関数として定義されるが、非線形項をもつときは不適切である場合がある。近年Hairerによって、そのような方程式に対する一般的な近似理論が導入された。本講演ではその一つとしてＫＰＺ方程式を取り扱い、Hairerによる結果とその拡張について説明する。

基礎教科書にある独立実確率変数の大数の強法則を独立な実確率過程に拡張する．マルチンゲール性などの時間軸方向のσ加法族の性質を仮定せずに成り立つ時間一様な概収束を目指す．例えば，ビルを建て大量の照明器具を設置し，切れる都度交換するとき，次に切れるまでの時間分布が（技術改良や原材料の法規制などで）交換時刻に依存する強度に基づくときに，平均交換回数が一様収束の意味で確定値時間発展に概収束するか，という問題である．この例のような増加過程の場合は教科書にある各時刻での確率変数の４次モーメント有界条件だけで一様概収束を得る．マルコフ性等の時間軸方向の良い性質を仮定しないので，例えば上記の例でビルを建てる時刻も変える２変数確率過程としての一様強法則も気になるが，サンプルの適切なヘルダー連続性を仮定すれば成り立つ．

Probability and statistics once had strong relations, but in recent years the two fields have moved into opposite directions. Despite this, I believe that both fields would profit if they continued to interact. Monte Carlo methods are one topic that is of interest to both probability and statistics: Statisticians use advanced Monte Carlo methods, and analyzing these methods is a challenge for probabilists. I will illustrate this, using as examples rare event estimation by sample splitting, approximate Bayesian computation and Monte Carlo filters.

We will discuss a general theory of intertwined diffusion processes of any dimension. Intertwined processes arise in many different contexts in probability theory, most notably in the study of random matrices, random polymers and path decompositions of Brownian motion. Recently, they turned out to be also closely related to wave equations and more general hyperbolic partial differential equations. The talk will be devoted to this recent development, as well as an algebraic perspective on intertwinings which, in particular, gives rise to a novel intertwining in beta random matrix theory. Based on joint works with Vadim Gorin and Soumik Pal.

講演概要: 本講演では外力場における対称なランダムウォークの準安定性を考える。準安定性の問題は古くから考えられており、その起源は少なくともKramersまで戻る。ランダムな摂動付きの力学系に対する研究としてはFredlimとWentsellによる研究が有名であるが、より最近に、Bovier、Eckhoff、Gayrard、Kleinらのポテンシャル理論による研究もされてきた。本講演ではポテンシャル場の極小点の近傍から出発するランダムウォークが、適切な時間スケール変換の下でポテンシャルより決まるあるグラフ上のマルコフ連鎖にある意味で収束することについて報告する。

$\varphi$-指数分布とは情報幾何の観点を用いた正数上の正値,連続,非減少関数$\varphi$に附随する指数分布の一般化である. 例えば$\varphi$が恒等関数ならば指数分布を, べき関数ならばべき分布を復元する. 本講演では平均と共分散行列をパラメーターに持つ$\varphi$-指数分布族,すなわち$\varphi$-正規分布族のWasserstein 幾何と発展方程式下における振舞を考察する. この考察は$\varphi$-指数分布族における指数分布族とべき分布族の特殊性を与える.

Classical stochastic process models in population genetics describe how a population of genes evolves forward in time under random drift, mutation, selection and recombination. Examples are the Wright-Fisher diffusion process; Moran models, which are birth and death processes; and Cannings models, where parents have an exchangeable offspring distribution. Coalescent models, which are random trees or graphs, describe the ancestral lineages of samples of genes back in time. These backwards and forwards models belong together technically as dual stochastic processes. This talk will discuss examples of forwards and backwards in time models. Forwards the models are the Wright-Fisher diffusion process; Fleming-Viot diffusion process describing DNA sequence evolution; and Moran models with multiple offspring and selection. The backwards models describing ancestral lineage history are respectively the Kingman coalescent process; Gene trees, which are perfect phylogenies constructed from mutation patterns on DNA sequences; and branching coalescing lineage graphs.

葉層付き空間は力学系の一般化とみなされ、その上の葉に沿ったパスをもつ拡散過程（各葉拡散過程）とその不変測度である調和測度は、葉層付き空間のエルゴード理論の中で重要な役割を果たす。今回は確率微分方程式を用いて、先行研究とは異なった方法でコンパクト葉層付き空間上の各葉拡散過程を構成し、得られた過程が出発点に関する確率連続性とフェラー性をもつことを述べる。さらに本構成によって、コンパクト多様体上の拡散過程の場合と同様にして各葉拡散過程に関するある種の中心極限定理が得られることを述べる。

高頻度データに対する統計解析における重要な問題の一つである「非同期観測」の問題を扱い, 統計モデルの局所漸近混合正規性と呼ばれる性質を示す.「非同期観測」とは, 二次元拡散過程の観測時刻が互いに一致しない状況を示しており, 日内の株価データに対する解析において必然的に生じる問題である.局所漸近混合正規性は漸近統計における重要な性質であり, この性質が満たされるときに, 漸近的に最良な統計推定量が定義される.
本講演では, Ogihara and Yoshida (2012)において提案された最尤型推定量・ベイズ型推定量がこのモデルにおける漸近的に最良な統計推定量となっていることも示す.

本講演は Xueping Huang氏(Jena 大学) との共同研究に基づく。局所有限な重み付きグラフ上のマルコフ連鎖の upper rate function を，グラフに適合した距離に関する体積増大度によって特徴づける。ここで upper rate function とは，マルコフ連鎖の法則に従って運動する粒子が’’典型的’’にはどの程度遠方へ移動できるのかを表す関数のことである。今回の結果は，Huang (J. Theoret. Probab. に掲載予定) による先行結果を改良するとともに，リーマン多様体上のブラウン運動の upper rate function に関するHsu-Qin (2010) の結果をマルコフ連鎖の場合に拡張している。

We consider the range of random walks up to time n, R_n, on graphs satisfying a uniform condition. This condition is characterized by potential theory. Not only all vertex transitive graphs but also many non-regular graphs satisfy the condition. We show certain weak laws of R_n from above and below. We also show that there is a graph satisfying the condition such that R_n/n fluctuates in probability. By the construction of the graph, we see the weak laws are best in a sense under the condition.

木上 [Math. Ann. 340 (2008), 781--804] により導入されたSierpiński gasket上の測度論的Riemann構造に関して，Laplacianの固有値のWeyl型漸近挙動についての講演者の結果を紹介する．固有値の漸近挙動を考えると極限には測地距離に関する領域のHausdorff測度の定数倍が現れ，さらにHausdorff測度は「Riemann体積測度」とは互いに特異であるという真新しい現象が見られる．証明ではKesten [Ann. Probab. 2 (1974), 355-386] によるMarkov連鎖の汎関数に対する更新理論が本質的な役割を果たす．

We investigate the macroscopic thermal conductivity of a chain of anharmonic oscillators and more general systems, under weak coupling limits and energy conserving stochastic perturbations of the dynamics. In particular we establish a series expansion in the coupling parameter.

I will present sharp two-sided bounds for the heat kernel in domains with Dirichlet boundary conditions. The domain is assumed to satisfy an inner uniformity condition. This includes any convex domain, the complement of any convex domain in Euclidean space, and the interior of the Koch snowflake. The heat kernel estimates hold in the abstract setting of metric measure spaces equipped with a (possibly non-symmetric) Dirichlet form. The underlying space is assumed to satisfy a Poincare inequality and volume doubling. The results apply, for example, to the Dirichlet heat kernel associated with a divergence form operator with bounded measurable coefficients and symmetric, uniformly elliptic second order part.
This is joint work with Laurent Saloff-Coste.

Persistence probabilities concern how likely it is that a stochastic process has a long excursion above fixed level and of what are the relevant scenarios for this behavior. Power law decay is expected in many cases of physical significance and the issue is to determine its power exponent parameter. I will survey recent progress in this direction (jointly with Jian Ding, Fuchang Gao, and Sumit Mukherjee), dealing with random algebraic polynomials of independent coefficients, iterated partial sums and other auto-regressive sequences, and with the solution to heat equation initiated by white noise.

This talk will discuss properties of the UST on the Euclidean lattice, and in particular with the relation between distance in the tree and Euclidean distance. These results can then be applied to study SRW on the UST.

本講演では、マルチンゲールの基本事項をまず復習し、 それの放物型方程式の$L^p$最大正則性との関連を述べる。 本事項は、放物型方程式の$L^p$最大正則性の関数解析的取扱いにおいて、 基本的であり、近年の放物型方程式の研究においては、よく用いられている。 ここまでは、よく知られた事項の復習であり、これによって、 マルチンゲール調和解析を研究する ひとつの動機を理解することができると考える。その次に、最近、講演者が田中仁氏（東京大学） との共同研究で得た、マルチンゲール調和解析についての結果である、マルチンゲールの枠組みでの正作用素および 一般化されたDoob最大作用素の重みつき評価について述べる。

Stochastic energy exchange modelは、多粒子間のエネルギーの拡散現象をモデル化したpure jump Markov processである。このモデルは、粒子間の相互作用の起こりやすさを定めるrate functionをモデルパラメータとして持つ。Rate functionが一様に正でない場合のspectral gapの評価は物理的に重要でありながら、既存の方法では十分な結果が得られていなかった。本講演では、このようなrate functionに対しても十分にシャープなspectral gapの評価を与える新しい手法について紹介し、得られた結果を述べる。

The cover time is a fundamental parameter of a finite graph and has been extensively studied. It is defined as the first time random walk on a graph has visited every vertex. The first order asymptotics of the cover time is known for many families of graphs. Much less is known about the fluctuations. In this talk I will present some recent results on fluctuations, including the resolution of a conjecture stating that the fluctuations in the discrete torus of dimension at least 3 (an important example) are governed by the Gumbel extreme value distribution.

In this talk, I will discuss joint work with Ben Hambly (Oxford) regarding the high frequency asymptotics of the eigenvalue counting function associated with the natural Dirichlet form on alpha-stable trees, which lead in turn to short-time heat kernel asymptotics for these random structures. In particular, I will explain how our results are proved using self-similar fractal arguments that involve decomposing the relevant tree into three pieces in the alpha=2 case and a countable number of pieces otherwise. The talk will also include a brief discussion of how these ideas can be adapted to the scaling limit of the critical random graph.