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予備掲示板2 (0021)

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Id: #w20021129133759  (reply, thread)
Date: Fri Nov 29 13:37:59 2002
In-Reply-To: w0021.html#w20021128090353
Name: 長谷川進
Subject: 標数p

くろきさん、解説をありがとうございました。

くろきさんwrote:
>「標数 p の世界では q = pe 乗する操作が環の準同型になる」という標数 p の最も重要な性質を使えばお終いと。

私からすっかり抜け落ちていた知識でした・・・。自分の生徒に「色々勉強すると見通しが良くなってわかりやすくなるもんだよ」って言ったりするんですが、まさにその例ですね。(^^ゞ

職場で一緒に騒いでいた連中にも教えてやります。
「ほら、こんなことも忘れていただろう(^^)」
Id: #w20021128090353  (reply, thread)
Date: Thu Nov 28 09:03:53 2002
In-Reply-To: w0021.html#w20021128005421
Name: くろき げん
Subject: はしもとさんの証明

はしもとさんの証明の伏せ字無し版は次の通りです:

有限体 Fp (p は素数)の拡大体における x3=x+1 の3根をα,β,γとすると,
α+β+γ=0,α222=2, α333=3 より,
an mod p = αnnn と書ける.
p, βp, γp) は (α, β, γ) のならべかえなので, akp ≡ ak mod p.
特に,n が p のべきならば,an ≡ a1 ≡ 0 mod p.

以下 p は素数で e は正の整数とし、 q = pe とします。はしもとさんは簡単のため有限体とその拡大体の中で計算してますが、 Z[α,β,γ] において mod p で考えても同じことです。「ならべかえなので」の部分は、 n = q の場合に制限すれば、長谷川さんのように、

(*) (α + β + γ)q ≡ αq + βq + γq (mod p)

が成立するという議論で置き換えることができます。

(*)の証明は、 3項係数の分母の評価でもできますが、もっと簡単に「q 乗する操作は mod p で環の準同型写像になる」という事実を使ってもできます (登場する操作 (写像) がどういう性質を持つかを明確にしながら先に進むと議論が楽になる)。 q 乗する操作 (Frobenius 写像) が乗法を保つことは明らかなので、加法を保つことを示せば良いのですが、それは次の単純な結果を用いて、 q = pe の e に関する帰納法で示せます:

(x + y)p ≡ xp + yp (mod p).

(証明: k = 1,...,p-1 に対して、 2項係数 p!/(k!(p-k)!) は、分母に p が因子として含まれないので、 p で割り切れる。) これを使えば帰納的に、

(x + y)pe+1 ≡ [(x + y)pe]p ≡ (xpe + ype)p ≡ (xpe)p + (ype)p ≡ xpe+1 + ype+1 (mod p).

実はガロア理論の演習をやっていて、しかもちょうど標数 p の世界特有の話 (非分離性、有限体、……) をやっていたところだったので、演習の時間に長谷川さんから出された問題の話をしてしまいました。線形差分方程式の解き方を知っていれば、あとは「標数 p の世界では q = pe 乗する操作が環の準同型になる」という標数 p の最も重要な性質を使えばお終いと。

くりたさん、はじめまして。反例があるということがわかって非常に助かりました。どうもありがとうございます。くりたさんが見付けた反例の話も学生の前で使わせてもらうかもしれません。


Id: #w20021128005421  (reply, thread)
Date: Thu Nov 28 00:54:21 2002
In-Reply-To: w0021.html#w20021127162117
Name: 長谷川進
Subject: 反例がありましたか

くりたさん、こんばんは。長谷川進です。

くりたさんwrote:
> a_n を割り切る素数でない n を探したところ、長谷川さんのあげておられた
> n=271441(= 521*521) をみつけるのに数分、その数十分後に素数の冪乗では
> ない数、904631 (= 7 * 13 * 9941) がみつかりました。

あぁ、反例がありましたか。(^^;) ありがとうございました。

ちょっと残念な気もするんですけど、こんな簡単な数列にあまり大きな事を望んではいけませんね。

-------
>黒木さん

はしもとさんの証明を見せていただけますか? IEでもOperaでも、「なんでも掲示板3」のソースが文字化けして読めないのです。
Id: #w20021127162117  (reply, thread)
Date: Wed Nov 27 16:21:17 2002
In-Reply-To: w0021.html#w20021126010614
Name: くりた
Subject: 反例

はじめまして。
カリフォルニアでコンピュータ関係の仕事をしています栗田といいます。
数学も物理も好きですが才能はなし。 その代わりと言ってはなんですが、
現在の大きな楽しみの一つは子供に科学や算数を教えることです。
以前からここの掲示板はよく拝見させていただいております。

本題に入りますと、いきなり無粋な話で恐縮ですが、たまたま数日前に届いた
ソフトウェアのベンチマークをかねて、長谷川さんの二番目の問題の反例探し
をコンピュータで力まかせにやってみました。

a_n を割り切る素数でない n を探したところ、長谷川さんのあげておられた
n=271441(= 521*521) をみつけるのに数分、その数十分後に素数の冪乗では
ない数、904631 (= 7 * 13 * 9941) がみつかりました。


この掲示板はいろんな意味で勉強になります。
はしもとさんの証明を理解するために Web や本棚をひっくり返し、楽しい時を
過ごさしていただきました。 これからもよろしくお願いいたします。
では。
Id: #w20021126010614  (reply, thread)
Date: Mon Nov 25 23:23:18 2002
In-Reply-To: e0017.html#e20021125184022
Name: 長谷川進
Subject: 数行で終わってる(^^;)

「n=p^k (pは素数。kは正の整数) ならば、a_n は p で割り切れる」も証明できました。この掲示板に書き込んだ後、気付きました。(さんざん考えてわからなかったのに間が悪い・・・)

と、書いて掲示板を見たら数行で証明されている! IEでソースを見たのですが、文字化けしてしまい、全然わかりません。トホホ。

で、今更ではありますが、初等的な証明を書きます。

 

まずは「nが素数ならば、a_n は n で割り切れる」を証明します。

【証明】 漸化式の特性方程式 x^3=x+1 の解を α、β、γ とすると、

α+β+γ=0 なので、

右辺の係数が同じ項をまとめると、

のようになり、{ }の中はα、β、γの対称式であり、

などを用いて次数を下げていくと、{ }が整数になることがわかる。

そして、n!/(u!v!w!) は n で割り切れるので、a_n は n で割り切れる。(証明終わり)

 

「n=p^k (pは素数。kは正の整数) ならば、a_n は p で割り切れる」も、この証明と同様にすればよくて(何故気付かなかった? (^^;))、

が p で割り切れることを示せばいいです。(u,v、w は(★)をみたすもの)

 

それには、まず、正の整数 t に対して整数 f(t) (≧0)を

となるものと定めておきます。

p^y≦x<p^(y+1) (yは整数)とすると

となるので([ ]はガウス記号)、

つまり、

これを用いて、

となり、

などから、u、v、wのいずれも 0 でない場合は、

これは n!/(u!v!w!)=(p^k)!/(u!v!w!) の分子と分母に現れるpの個数が分子の方が多いということですから、(p^k)!/(u!v!w!) は p で割り切れることがわかります。

u、v、wのうちの一つが 0 のときも同様。(二つが 0 になることはない)

-----------

逆に、「a_n が素数pで割り切れるならば、n は p の冪乗」というのも成り立つかもしれませんが、どうしたらよいものやら見当がつきません。n≦50万 では正しいそうです。


Id: #w20021125190221  (reply, thread)
Date: Mon Nov 25 19:02:21 2002
In-Reply-To: w0021.html#w20021125184722
Name: くろき げん
Subject: 「★ら★か★なので」の部分がもしかしたら一番難しいかな?

こちらはねたばれオッケーなので、ねたばれ全開で気軽に質問して下さい。


Id: #w20021125184722  (reply, thread)
Date: Mon Nov 25 18:47:22 2002
Name: くろき げん
Subject: an+3 = an+1 + an, a1 = 0, a2 = 2, a3 = 3 ⇒ ap^k ≡ 0 mod p (p:prime)

に関するネタバレの話題にここを利用する。


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管理者: 黒木 玄  <kuroki@math.tohoku.ac.jp>  (Web Site)
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