From: kuroki@math.tohoku.ac.jp (Kuroki Gen) Newsgroups: fj.sci.philosophy,fj.sci.math Subject: Re: Paradigm of Mathematics (Re: Model and Language) Date: 1 Jan 1997 06:17:39 JST Message-ID: 黒木です。 <途中を大幅に略> 私が「数学の基礎付け主義的な解釈」と呼んでいるのは、以下のような解釈の ことです。まず、数学を次のように図式化します: 基礎 ↑ 数理論理学 公理的集合論 代数系や位相の理論 実数論 微分積分学 応用 ↓ 多様体の幾何学 このような図式を思い浮かべた上で、 ○○が論理的に正しいと主張できるための根拠は××にある というような主張の集まりでもって数学を解釈することを、私は「数学の基礎 付け主義的解釈」と呼んでいます。 このような解釈における<<数学>>は現実に行なわれている数学の様子とは全く 異なるので、区別して扱う必要があります。 上のような数学解釈は結構巷に広まっているようで、「これはいかんな」と考 えさせられることがよくあります。大学理系における数学教育にも悪い影響を 与えているようにも思えるし、何が原因でこのような解釈が広まったのでしょ うかね？ さて、もちろん、数学者は、モラルとして最低限論理的に正しいことを論文に 書くことになっているので、当然「○○が論理的に正しいと主張できるための 根拠は××にある」という類のことを良く知っていて、実際にそれらの知識を 基礎にして論文を執筆するわけです。しかし、数理論理学や公理的集合論のよ うなところまで戻る必要があることはまずありませんし、大抵の分野の研究に おいては戻れるだけの知識も必要ありません。 (これは理論物理学と数学の関 係にも似ています。) 「数学の基礎付け主義的解釈」は単純明確な構造を持っているので理解し易い ので、魅力的に感じる人も多いのだと思います。しかし、その単純明解な解釈 が、実際には雑多な数学的知識を膨大に学ばなければ数学とはどのようなもの か理解することは不可能だという事実を覆い隠してしまっているような気がし ます。 (「数学の基礎付け主義的解釈」に染まってしまった人は「メタ」とい う言葉を異常に好むように思えます。数学に語る人が「メタ」という言葉を安 易に使い出したら要注意です。) ちなみに、私の友人には(おそらくかなり優れた)数理論理学者が何人かいるの ですが、彼らが「数学の基礎付け主義的解釈」のみを特に強調して論じるのを 見たことがありません。むしろ、「数学の基礎付け主義的解釈」を特に強調す ることがあるのは学生の一部であり、私はそれを見て「ううむ、大丈夫かな？」 と心配になるのです。しかし、実際に、ZFCの範囲で例えば普通の微分積分学 が実行可能であることを確かめることは、論理的な訓練になることも確かであ り、さらに、数学の理解の仕方は様々であるので、そのままほっぽっておくの が正しいのだと考えているのですが、もっと広い範囲の数学に目を向けて、もっ と自然な(できれば未解決の)問題の存在について考えることにもっと時間を取っ て欲しいというのも本音なのです。 私は「数学の基礎付け主義的解釈」の横行に対して、以下のような話がもっと 詳しく宣伝されるべきであると考えています。 「正しい答を得るまでは大変だったが、後はそれを書き上げるだけであった」 とか「以前は明らかだと思っていたが、あまり重要でないところで、しばしば 立往生することがあったが、その証明の主要な道筋はすでにはっきりしていた ので、自信を失うことはなかった」というようなことを多くの数学者が言って います。このような点にも、数学者の営みのどの部分が本質的なのかがよく現 われていると思います。 ゲージ理論の研究をしている幾何学者にとっては、公理的集合論も関係ないも のと一般には思われており、逆もまた同様です。もちろん、例外はありますが、 「○○は自分の研究には関係ない」と考えている人が十分にたくさんいること を認めてもらえば十分です。なぜなら、そのような人がいるということは、ど ちらか片方がもう一方に対する「必須の基礎」であるわけではないということ を示しているからです。確かに、ZFCの範囲で幾何学者が研究しているゲージ 理論が形式化できるのですが、それは後知恵のようなものであり、幾何学者に とってはどうでも良いことなのです。 私は数学に相当に近い分野を研究している理論物理学者と付き合うことが多い のですが、そこでの経験でも、上で書いたような「基礎付けの図式」を書くこ とのできない物理学者でも(いやむしろ物理学者であるからこそ)数学の本質を よく理解しているように見える人がたくさんいることを知っています。特に、 同じ数学的対象について話しているときに、全く同じ直観や具体例に関する雑 多な知識の集合を共有しているように感じるときには、その物理学者と自分は 基礎的前提のかなりの部分を共有しているように感じることがあります。 以上のような、リアルな研究活動という視点から見たとき、「ZFC云々」とい う主張は大変空虚に感じられるのです。 以上のようなことがあるので、どうしても数学解釈のための図式を書きたけれ ば、全ての分野を上下関係の区別無しに並べ、関係あるものどうしを、その関 係の仕方に応じて色付けした線で結んだようなものを描く方が、現実の姿にずっ と近いように思えます。そのような解釈の中では、「基礎」として論理的に特 権的な地位にある理論や分野は特に存在しません。 # 一つ前の記事と同様にまとまりのない文章で申しわけないですね。しかし、 # この手の話題でまとまりのある文章を書けと言われても正直言って困ります。 -- Gen KUROKI