数学の本はどう読むの? 数せみ 1998 年 4 月号・特集「数学ガイダンス」のための原稿長谷川浩司

編集部からこの表題でといわれて、ううむと思ってしまいました。というのも、私が数学の本を読むのがあまり得意でないからです。数学の本は、通常書店に並んでいる本の中で、専門書といわれるものに限ってみても、やっぱり難しい。まず、通読することが困難です。困難というのが不適当なら、非常に時間がかかるのが普通です。精読すれば、一日に 1 ページもすすまないことさえ良くあります。世に速読術指南という商売もあるようですが、その先生に標準的な数学書を持っていって何が書いてあるか瞬時に要約せよと迫っても、意味ある答えはまず無理でしょう。細部をとばしつつ要点をおさえ、本質を直観的に理解できたら、もういうことはありません。それでも、何の因果か (この文章を読んでまで！ ) 数学書を読もうという気合いのはいった人は、単位・研究・仕事・教養？等々のため数学書を読もうと志された方でしょうか。あるいは、数学書がわからないというが、いったいどんなにわからないのか？というコワイモノ見たさの方、またかつて読むことを断念するに至った原因は彼我のどちらにあるのか、というモットモな疑問をお持ちの方でしょうか？？

かくいう私も、学生のころはそれは悲惨な「ボロボロ」状態でした。そのことを踏まえて、拙い経験の下、まずは「どう読むか」以前に「どうやって読む本を選ぶか」からはじめましょう。とりあえず、読者は大学の新入生であると仮定させていただきます。

1 偵察編

さて私が大学初年のとき、線型代数の先生が「大学になって、教科書もハードカバー (堅い表紙の本のこと) で、それだけでも仲々偉くなった気がするでしょう？」と言われたものです。田舎モノの私にとって、恥ずかしながらたしかにそうなのでした。そして田舎モノたるゆえんですが、ハードカバーはどれも偉く見え、自分で本を選ぶ術を知らなかった！それまでブルーバックスと文庫本以外に、本らしい本を買ったことがなかったのです。今では、時に文庫本感覚で数千円の本を買ってしまいますが...。 (ああ、お金が...。 )

思えば、仮にも大学で (数学といわず) 勉強をはじめようというのに、まるで純朴というべきでした。一口でいえば、すべての本が良書であるとは限らない (少くともあなたにとって；仮に教科書であっても) ということです。教科書はふつう担当教官が選びますが、その教官の選択があなたの好みとあわないかもしれません。またたとえば今だと高校のカリキュラムが変化したのに対応していないかもしれません— もっとも大学のカリキュラムは良かれ悪しかれそんなふうにできていて、必要な知識がすべて順番にお膳立てされる方が、むしろ珍しいかもしれないのですが。たとえば数学ではまだとてもやってないような偏微分やら微分方程式やらを、物理や化学では入学早々使ったりするでしょう。みんなそんな風だったから怖がることもないのですが、教科書だけでなく自ら勉強した方が良いようです。

そこで、まずはどの本が定評があるか、情報収集をしましょう。本誌にも出るであろう本の紹介、そしてより身近な先輩、同級生、先生などなど。自分でも図書館や本屋に行ってみるのはもちろんです。せっかく買うからにはあまりチャレンジがない (努力を要求されない) 本もつまらない、しかし石の上にナントカという精神だけでも身につくものではありません。学生時代の友人いわく、「気持ちが書いてある本でなくては」。では「気持ち」とは何か？ちょっと考えてみましょう。

数学のウリの一つとして、厳密であることがあるとされています。特に「定義 – 定理 – 証明」といういわゆる演繹のスタイルは、その象徴と考えられることも多いようです。一方「気持ちがわからん」という不評も、多くはこの形式にあるようです。しかし、ギリシャ時代の「ユークリッド原論」もすでにこの形式なのでした。時に微妙でありうる事柄をあいまいでないよう体系的に述べるには、急がば回れで順番に一つずつ示していくのが、ある程度避けがたいと思われます。また、こうすると (なぜか) 短くなる！これに対するのは「どうしてその定義 (あるいは定理、証明法) に至ったか」を一つずつ述べる、帰納的または発見法的記述とよぶべきもので、これこそは気持ちに満ち、物語的な魅力もあります。しかしこれを全ての段階でやるとむしろ記述が長大となって、そのわりに適用範囲が狭かったり、あるいは (少くとも表面上) 厳密さが失われやすい、ように思います。一つの形式として演繹スタイルが定着したのも意味があることでしょう。

しかしあまりに形式を重くみて、もとのアイデアが隠れてしまっては仕方ありません。意味があることを厳密にやってこその数学の価値です。アイデアが生まれるには、必ずポイントがうきぼりになるような具体例あるいは具体的問題があるもので、それらが書いてあることが良い本のひとつの条件といえます。「定義 → 定理 → 証明」の演繹スタイルが常に抱える問題として、数学の意味ある問題を考えるときは、これと全く逆の「問題の考察 (後で問題解決に使うことになるかもしれないさまざまな断片的議論のつみかさね) → こうなっているのではないかという予想→ 議論を整理するための定式化」がフツーだ、ということがあります (帰納！ ) ^{1} 。良い例・良い問題はこの点を補うために重要です。最初は例や、答えられていなかった問題のみがあって、それらを統一的に理解するためにこそ定理が生まれるのですから！例や問題で動機をはっきり納得しないと、どこが難しいのか問題点がわからないまま答だけを教えられるということに陥ってしまいがちです。この点は最近反省されつつあり、例えば岩波講座「現代数学への入門」全十巻は (本ごとに著者が違い、バラツキはあるけれども) なるべく動機を述べることを方針としています。意図を詳しく説明すると、その分盛り込める内容が少なくなるともいわれますが、これはオススメの一つです。これを読むことに決めなくとも、とりあえず参考として手にとってみては？

2 戦術編

さて、そこで適当な本を選んだとして、ようやく本題。どのようにして読んだらよいでしょう？

よく「高校のときのように勉強すれば、大学の数学だってわからなくはならない」といわれます。多分そのとおりなのですが、はじめは本や講義のスタイルにとまどったりしていると、一年くらいあっという間に過ぎてしまいます。大学に入って、他に考えること、面白いことも多多あるでしょうし...。

何かアドバイスになるとしたら— まず、よくいわれることですが、手を動かすこと。微積分のチェイン・ルールなどは「手が覚えてくれる」もので、そのためには手を慣らせることです。もっと先にいっても、数学の技術的側面は決してなくなりません。計算をしてみる、問題を解くというのが大事なゆえんですが、いざ解こうとしたときにはもうワケがわからなくなっている、ということも確かにおこります。そのための予防策は、これも良くいわれるように、読みながら要点を書きだしてノートを作っていくという方法があります。

1 「原論」の場合も、そこに至る議論を収めた書物がかなり失われてしまったと考えられています。

しかし数学の本はすでにその要点をまとめたものとも言えるので、はじめは写すのとあんまり変わらない気がするかもしれません。高校までと比べて目標とすることがらも大きくなっているので、ひとつのことがらをキチンと組み立てるためにある章がまるごと費される、ということもおこり、その間は問題もピンとくるようなのがなかったりします。 (やりかたにもよりますが、たとえば実数、積分、ベクトル空間の次元の定義など。 ) すると何のために何をするのかがわからず、ノートを作りながら読むといってもそのうちに不毛に思えてくるかもしれません。

あきらめる前に、まずはひとつのことを理解するのに (何週間とか何カ月とか) 長い時間がかかるのは良くあることだと思いましょう^{2} 。数学の数学らしさのひとつに、原理的には実験装置もなにもなしで、コトの正否が全て自分で確かめられるということがあります。数学書の議論 (特に、証明) を追うのは、実験を追体験するようなものです。わかるまで時間がかかるのも、無理のないことではありませんか。

しかし考えずに放っておいても突然わかるようにはまずならないので、自分がまだ理解していないということを認めるのが第一だったりします。そのチェックのためにこそ、例や問題があります。例で理解すれば、証明は読まなくてもとりあえず心配にならない場合もあります。行列の対角化やジョルダン標準形など、その典型といえるでしょう。

このように、読んだからといってすぐ意味がわかることにならない、はじめは読まなくて良い証明というのもあります。一方で証明には重要なアイデアが含まれていることもあり、すべてとばすとこれまた何も残らない可能性があります。またとばすにしても、「これは認めてしまおう」とはっきり自覚した方が精神的にあとを引きません。そこで逆説的ですが、わからなくても気にせずに先の方までパラパラ眺めてみるというのもありえます。全体の構成や、やりたいことがわかることで、今とばして良いこと、わかっておくべきことがはっきりする場合があるからです。それから現在の場所にもどってみると、「ここはこういうことか」と思えるかもしれません。

更に、仲間を作って友達や先輩と雑談する、教えあうというのが、非常に良いことです。こむずかしく考えることはない、要は「習うより慣れろ」だと言ったＢ教授もいます。問題を解いてみて安心するとか、人と話していてわかってなかったところがわかったとか、そういう経験はみんなあるでしょう？

さて、そんなふうに自分の居場所を確認して、やはりここはキチンと消化しようということになったとします。こうなったらある期間集中して、本で読んだことを自分用にまとめなおしてみる、問題があればまた問題を解いてみる、というのが、回り道のようでも逃げられないところでしょう。ここでもまた、例は大事です。自分で良い (反) 例を作るのは、非常に良い勉強になります。「こう考えるとここで困る」とか、いろいろ気がつくものです。そしてできればダメオシとして、気づいたことを折込みながらもう一度まとめ直すと良いでしょう。いわば自分用の教科書を書くわけです。

大学院に進み、更に研究というべき段階に進んでも、面白そうな問題に対してまずはこのようにして人の理解、自分の理解を整理し、その不十分なところを段々と明らかにすることが基本のひとつです。

ちなみに私の場合、こんな風なことをおぼつかなくも始めたのは 2 年生になってからで、自分で授業とは独立に本を読んだのは 3 年になってからでした。更に言うと、何であれ一通り不安がなくなるのは、自分がその内容を論文で使うか、あるいは講義などで人前で話してからというのが普通！そして、こういう人はどうも私だけではないようです。まことに人に説明するというのは勉強になるものです、というべきか？（＾＾；）そこで仲間で交代で「講義もどき」をするのが「セミナー」とよばれる活動です。

2 数学科で自由な時間が多いのも、そのためです。

3 戦略編

さて、必ずしも単位や業務上といった実利ではなく数学をカジろうという方も多いと思いますし、学生さんならばまさにそうあってほしいものです。しかしもうすぐ大人という年の人が、ただ「あとで大事だから」と人にいわれただけで勉強に励むとも思えません。ここまで書いた「読みかた」にしても、いわば戦術の話で、「何のために今これをやるか」「これをやると、先へ行ってどんな面白いことがあるか」という戦略の立て方については、まだ何も言っていません。積み重ねの学である数学を、どこからカジればよいでしょう？

近縁である物理の場合には、この宇宙あるいは自然を理解するという一大目標があって、たとえばファインマンの本 [4] を数式はとばしながらでも読むと、物理世界のかなりの展望が (この本のすばらしいところで、楽しみながら) 得られた気になれます。一方数学の場合、ここまで目的がはっきりしません^{3} 。そして式をとばすと何も残らなかったりします。しかし研究するにおいて「そこに問題があるからやる」という単なる山登りのような (失礼) ことだけかといえば、やはりそうでありません。数学するのも他の人間の営み同様、何らかの秩序をそこに見い出す、うちたてるという欲求が根底にあると言って良いと思います。この「そこ」というのが物理の場合と違って外部になく、さまざまな例や問題を通じて個人の内部に構築されていくというべきでしょう。これを人は「数学的自然」などと言います。

ところで数学では、避けがたく出てくる高次元の空間が目で見えない等、しばしばわれわれに対象についての「経験が欠如して」います [4]。これは研究の出発点にもなり、伝える難しさにもなります。物理でも量子力学では、たとえば電子を２つのスリットを通すと云々の不可思議から説くものですが、これは経験の欠如をおぎなうためでしょう。そこで数学も、何を考えようとすると何がおこるか、そしてそれはどう考えると良い、と語るのがひとつの理想かもしれません。しかし物理と違って、対象が万人に生得的に共有されておらず「目に見えない」！このため問題意識を伝えるにもかなりの工夫を要し、最近の話題ほどそうなりがちです。数学における「ファインマン物理学」のようなのがあると良いのですが、それが難しいのも理由があるかもしれません。

それでも、数学の奥深い実質を工夫して伝えようという、本や雑誌記事がいろいろあります。また問題が生の、素朴な形であったころに戻り、そこから今を理解しようというのも健全です。そこで数学史、まずは 19 世紀でしょう [4,4]。文末にもいくつかあげましたが、気になる本があったらとりあえずパラパラやっておくと^{4} 、あとで不思議と良いことがあるものです ( 「この式は見たことある！」 )。

そして、機会があれば人の話を聞くと良いでしょう。我々が論文を読むときに、その著者を知っているか、見たことがあるかで、だいぶ読みかたが変わります。「あいつがこんなこと言ってる」とか、「どうせこれはこう言ってるけどこんなつもりなんだろう」とかいうように。文章を見て、思わずその人の声が聞こえてくるようで笑ってしまうようなこともあります。数学であれ何であれ人間のやることですから、言いたいこと/言うべきことのすべてを文章にできているとは限りません。人に話を聞く、対話するというのは、このような理想と現実のギャップを埋めるための良い方法です。論文でなく本でも同じことで、誰かわかった人に話を聞くのは効用が非常に大きいはずです。

そのためにも、どっちにどういう面白そうなことがころがっているか日頃からアンテナを張っておき、「こんなことが数せみに書いてあったけど何ですか？」みたいに、講義のあとなどに先生や先輩と会話がはずむと良いですね！

3 もっともかのプラトン先生の思想に従い、「現実こそが数学の反映 (近似) である」と信ずる道もあります。

4 なおセチガライ話ですが、最近は—税金や倉庫代などの関係だそうで—本は見た時に買わないとあとでは在庫がなく、手に入らないことがあります。

4 Books

あえて数学に限りませんでしたが、参考まで。

高木貞治「近世数学史談」岩波文庫山下純一「ガロアへのレクイエム」現代数学社「ファインマン物理学」 I-V、岩波書店深谷賢治「数学者の視点」岩波科学ライブラリー佐藤文広「数学ビギナーズ・マニュアル」日本評論社久賀道郎「ガロアの夢」日本評論社スチュワート「ガロア理論」共立全書竹内端三「楕円関数論」岩波全書寺沢寛一「自然科学者のための数学概論」岩波ハイラー、ワナー/蟹江訳「解析教程」上下、シュプリンガー東京長野正「曲面の数学」培風館戸田盛和「物理学 30 講シリーズ」朝倉書店朝永振一郎「スピンはめぐる」中央公論社堀田良之「加群十話」朝倉書店猪狩惺他「数学って何だろう」日本評論社