2 体問題のはなし

長谷川浩司 (東北大)

2 つの物体 (太陽と惑星) が重力の下でどのように運動するかを問うのが 2 体問題である。ニュートン (1642-1727) による重力の法則の発見とこれに基く 2 体問題の解 (惑星の軌道) の導出は、現代科学の基礎となる出来事であった。

このはなしでは、ファインマン (1918〜1988) によるニュートンの議論の再現 [参考図書 1] にほぼ従いながら、楕円軌道という結論をなるべく初等幾何的な作図に訴えて (微積分を用いずに) 示すことを目標とする。

2 体問題は完全に解けるという意味で簡単ではあるが、十分複雑な構造をもっており、今なお見直すことが興味深い。とくに、一見しただけではわからない「隠れた対称性」を持つ問題の「元祖」である。ファインマンによる軌道の作図も、隠れた対称性を活用したものと言うことができる。

1 惑星運動に関するケプラーの法則

惑星の存在は古くから知られ、古代メソポタミアでは精密な観測も行われた。そして天動説による精密な理論が作られ、プトレマイオス (100〜170) の通称「アルマゲスト」 (=偉大な書) としてまとめられた。地動説 (の萌芽) もすでにギリシア時代のアリスタルコス (BC301〜230) が唱えている。

ローマ文明の崩壊後、いわゆる「西欧中世暗黒時代」を経て、暦を正しくする動機からコペルニクス (1473〜1543) が地動説を復活させた。チコ・ブラーエ (1546〜1601) による精密な観測の分析 (とくに火星) を委ねられたケプラー (1571〜1630) は、惑星の運動について以下を発見した：

ケプラーの 3 法則 (1619、「世界の調和」 )

K1. 楕円軌道各惑星は、太陽を 1 つの焦点とする楕円軌道を描く。

K2. 面積速度一定単位時間 (たとえば 1 日) の間に、各惑星が太陽を頂点として軌道上に描く図形の面積は、惑星ごとに一定である。図 1

K3. 周期と距離の関係各惑星の公転周期 T は、軌道の長半径 R の\frac{3}{2} 乗に

比例する:

T^{2} = R^{3} × 定数 (これを T^{2} ∝ R^{3}と表す。)

以下ではこれらを、その後ニュートンが発見した重力の法則から導こう!

2 楕円について

F, F′ を平面の 2 定点とする。 F, F′ からの距離の和が一定 (c) である点 P の軌跡が楕円である。 F = F (f, 0), F′ = F′(−f, 0), P (x, y) とすれば図 2A

FP+PF′ = c ⟺ \sqrt{(x − f)^{2} + y^{2}} + \sqrt{(x + f)^{2} + y^{2}} = c ⟺ \{(x − f)^{2} + y^{2} + (x + f)^{2} + y^{2} − c^{2}\}^{2} = \{−2\sqrt{(x − f)^{2} + y^{2}}\sqrt{(x + f)^{2} + y^{2}}\}^{2} .

左 = {2(x^{2} + y^{2} + f^{2}) − c^{2}}^{2} = 4(x^{2} + y^{2} + f^{2})^{2} − 4(x^{2} + y^{2} + f^{2})c^{2} + c^{4}, 右 = 4 {x^{2} + y^{2} + f^{2} − 2xf} {x^{2} + y^{2} + f^{2} + 2xf} = 4(x^{2} + y^{2} + f^{2})^{2} − 16x^{2}f^{2}

∴ 4(x^{2} + y^{2} + f^{2})c^{2} − 16x^{2}f^{2} = c^{4} ∴\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2} − f^{2}} = 1. (a = \frac{c}{2}とおいた)

これが楕円の方程式である。とくに、 x 方向に a 倍し y 方向に\sqrt{a^{2} − f^{2}} 倍すると円になることがわかる。図 2B

楕円は直円錐を平面で切った切口としても得られる。そのような切口として他に放物線と双曲線が現れることは、古代ギリシアのアポロニウス (BC260?〜 190?) により知られていた。そこでこれらは円錐曲線とよばれる。図 2C

後で楕円の次の性質が大事になるが、証明は付録に回そう。

定理 1 楕円上の点 P を通る直線 l′l が接線 ⟺ ^{}F̸′P l′ = ^{}F̸ P l.

楕円の内側が鏡になっているとすれば、これは F から出た光が F′ に集まることを示している。そこで F, F′ は焦点とよばれる。図 2D

定理 2 楕円の任意の接線に対し、 2 焦点から下した垂線の長さの積は一定である。図 2E

3 引力の発見

ニュートンの法則 (1684 ころ) は以下のとおりである。

N1. 慣性の法則「力」が働かない物体は等速直線運動をする。

N2. 運動方程式物体の速度変化は力に比例し、質量 (重さ) に反比例する。

N3. 重力の法則 (万有引力の法則)2 つの物体間には、質量の積に比例し物体間の距離の 2 乗に反比例する力が働く。

N1 と N2 は物体の運動の (これ自身画期的な) 基本原理で重要だが、ここでは惑星にとって大事な N3 をケプラーの法則から出してみよう。ただし簡単のため軌道は円であるとし、また以下では太陽は動かないものと考える。^{1}

円軌道を生む力の法則を出してみる

中心 S (Sun, 太陽) の円周上を物体 P (Planet, 惑星) が一定の速さで動く。時刻 t_{0}, t_{1}, t_{2}, t_{3}, ⋯ は間隔 t_{i+1} − t_{i} = Δt が一定とし、そのときの位置を P_{0}, P_{1}, P_{2}, P_{3}, ⋯ としよう。 N2 によれば、速度の変化で力がわかる。図 3A

P の移動を表わすベクトル (矢印!) v⃗_{0} = P⃗_{0}P_{1}, v⃗_{1} = P⃗_{1}P_{2}, v⃗_{2} = P⃗_{2}P_{3}, ⋯ が時間 Δt あたりの速度 (=速さ+方向) 、その長さ v_{0}, v_{1}, ⋯ が速さである。

速度の変化を見るため、速度ベクトルの始点をそろえた図 (速度図) を書こう。 P_{0}, P_{1}, ⋯, P_{n} = P_{0} が円軌道を n 等分するとすれば (n · Δt = 周期 T)、 △SP_{0}P_{1}, △SP_{1}P_{2}, ⋯ はすべて合同であり、 v_{1} = v_{2} = ⋯ = v (一定) である。この長さの線分が角度\frac{360^{∘}}{n} ずつ向きを変えてゆけば、 n 個目で元の位置 v_{0} = v_{n} に戻るまでに速度ベクトルの終点は正 n 角形を描くことになる。図 3B

すなわち、速度 v⃗_{i} は半径 v の円上にある。 n = \frac{T}{Δt} が十分大なら

n · v ≒ 2πR (R は軌道半径)

であるが、速度図においても Δv⃗_{i} = v⃗_{i+1} − v⃗_{i} の長さは全て一定 (= Δv) なので

n · Δv ≒ 2πv.

∴時間Δt 当りの速さの変化 = \frac{Δv}{Δt} = \frac{2πv/n}{T/n} = \frac{2πv}{T} = \frac{2π}{T} × \frac{2πR}{T}.

(最後は vT = 2πR を用いた。 ) さてケプラーの第 3 法則 (K3) によれば、 T^{2} = k^{2}R^{3} (k は定数) である。これを代入すれば

\frac{Δv}{Δt} = \frac{(2π)^{2}R}{T^{2}} = k^{−2} \frac{(2π)^{2}R}{R^{3}} ∝ \frac{1}{R^{2}} .

つまり速度変化 (加速度) の大きさ\frac{Δv}{Δt} が軌道半径 R の 2 乗に反比例する (加速度の原因を「力」と呼べば、その大きさは 1/(距離)^{2} に比例する) 。また加速度 (力) の向きは、各時刻で太陽の方向を向いている：図 3C。これが万有引

図 3C

力の法則 N3 である。^{2}

1本当は作用反作用の法則により太陽も僅かながら動くはずだが、惑星に対し質量が巨大なのでその動きは無視できるほど小さい。また重心に対する運動を考えることで以下の議論は厳密に正しいものにできる。

2ニュートンはさらに楕円軌道からも同じ法則を導いている： [2], pp88-89.

4 ニュートンの法則からケプラーの第 2、第 3を出す

ケプラーの法則 (現象の観察結果) がニュートンの法則から出せれば、現象を生むひとつの自然法則が理解できたことになる。

難しい K1(楕円軌道) は後回しにして、 K2 と K3 をここでやっつけよう。

4.1 第 2 法則 (K2, 面積速度一定) を出す

まず力が働かないときを考える。慣性の法則より等速直線運動するから、時間間隔 Δt が一定の点 P_{0}, P_{1}, P_{2} ⋯ を軌道上にとれば、軌道上にない一点 S に対し △SP_{0}P_{1}, △SP_{1}P_{2}, ⋯ の面積はすべて等しい。図 4A

引力が働くとき。力が働かないときの P_{0}, P_{1} の中点 P_{1/2} で S の方向に力 (引力)f⃗ が働き、 Δt 後の真の位置 P′_{1} に移動すると考える。このとき P⃗_{1}P′_{1}//f⃗,

図 4B

∴ △SP_{1/2}P_{1} = △SP_{1/2}P′_{1} (等積変形であり面積が等しい).

以下同様であり、各ステップでできる面積は力がないときと同じ (図 4C)。すなわち引力が働くときも面積速度は一定である。図 4C

4.2 第 3 法則 (K3, 周期と距離の関係) を出す

簡単のため円軌道とすれば、引力を導いたさっきの計算を逆にたどればよい：円運動の加速度は\frac{Δv}{Δt} ∝ \frac{R}{T^{2}} だった。これが引力 ∝ \frac{1}{R^{2}} に等しいはず。

∴\frac{1}{R^{2}} ∝ \frac{R}{T^{2}} , T^{2} ∝ R^{3}.

これでケプラーの法則 K2, K3 が出た。

5 ニュートンの法則からケプラーの第 1 法則を出す!

5.1 一般の場合も速度図が円であること

運動方程式 (N2, 速度変化の条件) を速度の条件に言いかえると便利である^{3}。一般には円軌道でないとすれば、「時間間隔一定」でできる扇型は互いに合同でなくなる (図 5.1A)。そこでこれまでの「時間間隔一定 (= Δt)」でなく、太

図 5.1A

陽から見た「角度間隔一定 (= θ)」の点 p_{0}, p_{1}, p_{2}, ⋯ をとって考えるのが良い。図 5.1B

3微積でいえば速度は位置の 1 階微分、加速度は 2 階微分である。難しい加速度についての条件 (運動方程式) を一度積分して、より易しい速度の条件にしようということである。

θ が十分小さいときのSp_{0}p_{1}, Sp_{1}p_{2}, ⋯ の面積は、それぞれ半径 R_{0} = Sp_{0}, R_{1} = Sp_{1}, ⋯ で頂角 θ の扇 (円の一部) で近似される。 nθ = 360^{∘} とすれば図 5.1C

Sp_{i}p_{i+1}≒\frac{1}{n}2πR_{i}^{2} ∝ R_{i}^{2}. (∵θ = 一定)

すで示した面積速度一定から、この面積が時間に比例する。∴Δt ∝ R_{i}^{2}.

一方引力の法則は、時間当りの速度変化 = \frac{Δv}{Δt} ∝ \frac{1}{R^{2}} である。 R = R_{i} (\frac{Δv_{i}}{Δt_{i}} ∝ \frac{1}{R_{i}^{2}} ) と考えてこれらを掛け合せると

Δv ∝ 1 すなわち Δv = 一定.

つまり θ = 一定の各点 p_{0}, p_{1}, ⋯ の間では、同じだけの速さの変化が起る。

速度変化 Δv⃗_{i} = v⃗_{i+1} − v⃗_{i} は大きさがこの Δv (一定) で、向きは中心 S 方向なので θ ずつ変わってゆく。したがってこれをつなげることで、速度図 (速度ベクトル v の終点の集合) はやはり円になる (円軌道のときと同じ!)。図 5.1D

これが求める言いかえである。ここで円軌道でない場合には、速度図の原点 (速度ベクトルの共通始点) O と速度図の円の中心 C とは異なることに注意。

5.2 楕円軌道の作図!

速度 v_{i} の条件 (速度図が円) から、物体の位置 p_{i} はどう決まるだろう？考えやすくするため、 p_{0} で惑星は太陽に最も近いとしよう。すると面積速

度一定より、この点 p_{0} で速さ v_{0} は最大である。また速度ベクトル v⃗_{0} と位置ベクトル S⃗p_{0} は直交する。

この直交する 2 ベクトルを手掛りとするため、 t = 0 での v⃗_{0} が S⃗p_{0} と同じ方向となるよう、速度図を 90 度回転して考える。速度図を 90 度回転した円上の、 p_{i} における速度 v_{i} に対応する (90 度回した) 点を v′_{i} で表す。同様に、

図 5.2A

速度ベクトルの原点 O および速度図の中心 C を回した点を O′, C′ で表す。

点 C′ を元の軌道図の原点 (太陽) S に重ねて考えれば、点 p_{i} は以下の条件をみたすべきである。

条件 1. C′ = S から見て、 p_{0}, p_{1}, ⋯ は v′_{0}, v′_{1}, ⋯ の方向にある。 (90 度回したことと、^{}v̸_{0}Cv_{1} = ^{}v̸_{1}Cv_{2} = ⋯ = θ より。 ) 図 5.2B

条件 2. 各 p_{i} における軌道の接線は (速度ベクトルの方向であり、速度図は 90 度回してしまったので) O⃗′v′_{i} と直交する。

条件 3. 各 p_{i} における速さ (速度ベクトルの大きさ) ∝ O′v′_{i}.

これらを満たす点 p_{i} を求めるための、ファインマンによる答えは次の通り：

図 5.2C

「O′v′_{i} の垂直 2 等分線を l とすれば、 l と C′v′_{i} の交点が求める p_{i} である。」

条件 1 はこのとき自動的に満たされる。また p_{i} が O′, C′ を焦点とする楕円を描くことも易しい：

O′p_{i} + C′p_{i} = O′p_{i} + v′_{i}p_{i} = 速度円の半径 (一定!).

5.3 残りの条件の確認

条件 2 について l が軌跡 (楕円) の接線となっていることを示す：垂直 2 等分線ということから、定理 1 の「入射角 = 反射角」の条件が成り

立っている。ゆえに l はこの楕円の接線である。図 5.3A

条件 3 について一般に、速さ = \frac{移動距離}{移動に要した時間}(の極限) である。作図した楕円上に 2 点 P, Q をとる。面積速度一定により、この 2 点間の移

動に要する時間は扇型 C′P Q の面積に比例する。 Q が P に近ければ (Q → P の極限では)、これは △C′P Q の面積で近似されるから図 5.3B

点 P での速さ v ∝ lim_{Q→P} \frac{P Q}{△C′P Q}.

C′ から l に下した垂線の足を H とすれば図 5.3C

△C′P Q ≒\frac{1}{2}C′H · P Q ∴\frac{P Q}{△C′P Q}≒\frac{1}{2}C′P Q = \frac{2}{C′H}

つまり v ∝ \frac{1}{C′H} である。これが O′v′×定数に等ければ良い。すなわち

条件 3 ⟺ C′H · O′v′ = 定数

作図で用いた O′v′ の中点を M とすれば、 O′v′ = 2O′M なので

条件 3 ⟺ C′H · O′M = 定数

でもある。 M は O′ に l から下した垂線の足だから、これは定理 2 「楕円の接線に 2 焦点から下した垂線の長さの積は一定」そのものであり正しい。

以上により、作図した楕円が求める軌道であることが確かめられた。 (祝!) ^{4}

4ここで O′ が速度円内にある場合を考えているが、 O′ が速度円外の場合もありうる。その場合は軌道は周期的とならず、双曲線となることが同様の作図でわかる。これは彗星などに対応する。また O′ が速度円上の場合もある。このとき軌道は放物線となるが、ここでやった作図では一点につぶれてしまい苦しい。

6 おわりに

微積分は力学の研究のためニュートンが発明したといわれる。実際にはニュートンは力学の研究のためだけに微積を作ったわけでもなく、また力学の研究に微積だけを使ったわけでもなかった。むしろここで紹介したより遥かにこみいった幾何的考察を駆使して力学を研究したと言えそうである [2]。

しかし初等幾何は職人技が必要である。そこでニュートンの後、幾何をなるべく避けて通るためにも微積分が発達した。ただしそのためには微積分を学ぶ必要があり、難しさの保存則のようなものがありそうである。興味があれば文献 [3], [4] とその巻末に紹介してある本を読むと良いだろう。

一方、今回の内容が微積によってすべて明らかになるかというと、それがそうでもない。

たとえば、途中で用いた「速度図の 90 度回転」による作図を式で追跡してみると面白い。楕円軌道の焦点を結ぶベクトルは時間とともに変わらず、いわゆる「保存量」となっている (離心率ベクトルあるいはラプラス-ルンゲ-レン

図 6A

ツベクトルとよばれる)。このベクトルを使うと軌道の方程式を簡単に求めることができ、^{5}それを作図で行ったのがここで紹介したファインマンの方法と言うことができる。 (ファインマンは気がついていただろうか？たぶんそうで、そこから逆に今回のような作図を探したのではないかという気もする。 )

途中で見たように、一点からの引力を受けて運動する限り面積速度は一定になる。つまり面積速度は保存量である。これは問題が (太陽を中心とする) 3 次元の回転対称性をもつことと関係している。このように対称性があることと保存量があることは概ね 1 対 1 に対応するという定理がある (エミー・ネーターの定理、 1918 年)。

これに対し、離心率ベクトルは、引力の強さが距離の 2 乗に反比例する特別な場合にのみ存在する特別な保存量である。定理の教えるように対称性と関わるであろうか？答は YES なのだが、その対称性とは何だろう？驚くべきことに、じつは離心率ベクトルからわかるのは、 2 体問題が 4 次元の回転対称性をもつということである。

これはなかなか目に見えないが、大体のところを説明してみよう：地球 (= 3 次元空間内の 2 次元球面) は丸いが、平らな紙に引き写して地図

を作ることができる。図 6B

同様にして、 3 次元の空間を 4 次元空間内の 3 次元球面の地図と見ることができる。この 3 次元球は 4 次元の回転で不変である。この 3 次元球の大円上の運動が、我々の 3 次元空間で見ると楕円上の運動となる。そしてもとの 4 次元回転対称性は、 3 次元空間では見えにくく「隠れて」しまう。図 6C

5文献 [3] を参考にしながら試みてみると良いかもしれない。

さて 20 世紀に入ると、 2 体問題は水素原子の模型としても活躍することになる。量子力学がまだ手探り状態のとき、パウリは 2 体問題の「隠れた対称性」をうまく使って水素のスペクトルを説明した (1925 年)。これは量子力学の正しさを広く信じさせるものだった [5]。

一方、さっきの「4 次元化」でも満足がいかない点がある：ここでは触れられなかった双曲線軌道の場合— これは探査機を惑星を用いて加速するスウィングバイにも用いられる [6] — も含めて、対称性の親玉というべき「群」という対象から全てを理解したい。このためには、 6 次元ないし 7 次元の空間で考えねばならないことが知られてきている。この理論が完全な形で実現されたのは十数年前のことである [7]。

2 体問題は古い問題だが、いつの時代も話題を提供し興味が尽きない「良い問題」の典型といえるだろう。

参考文献

[0] ニュートン「プリンキピア」 (原著 1687) 河辺六男訳、中央公論社 (世界の名著シリーズ、 1971)

[1] D.L. and J.R. グッドスティーン「ファインマンさん力学を語る」砂川重信訳、岩波書店 (1996)

[2] チャンドラセカール「チャンドラセカールのプリンキピア講義 — 一般読者のために」中村誠太郎監訳、講談社 (1998)

[3] 吉田春夫「キーポイント力学」岩波書店 (1996)

[4] 牧野淳一郎「とんでる力学」丸善 (2005)

[5] J.S. リグデン「水素を覗くと宇宙が見える」上野時宏訳、シュプリンガー・フェアラーク東京 (2004)

[6] 木下宙「天体と軌道の力学」東大出版会 (1998)

[7] Cordani, The Kepler Problem, Birkhauser(2003)

7 付録

E で楕円 F P + F′P = c を表す。次のことは認めることにしよう。

点 Q が E の外部 ⟺ F Q + F′Q > c 図 7.1A

7.1 定理 1 の証明

⇒) E の点 P での接線を l′l とし、 Q ≠ P を l′l 上にとる。 Q は E の外部だから図 7.1B

F Q + F′Q > c = F P + F′P.  (1)

l′l に関する F′ の鏡映 (線対称) 点を G とすると、 F P + GP = F P + F′P. この最短性 (1) より、 G, P, F は一直線上にある。図 7.1C

∴^{}F̸′P l′ =^{線対称}^{}G̸P l′ =^{錯角}= ^{}F̸ P l. (証明終)

⇐) 直線 l′l が E 上の点 P を通り、^{}F̸′P l′ = ^{}F̸ P l を満たすとする。やはり l′l に関する F′ の鏡映 (線対称) 点を G とすると図 7.1D

G̸P l′ =^{線対称}^{}F̸′P l′ =^{仮定}^{}F̸ P l.

よって G, P, F は一直線上にある。そして F G = F P + P G = F P + P F′ = c. ここで P と異なる l′l 上の点 Q をとると、 F′G は l′l の垂直 2 等分線なので

図 7.1E

F Q + QF′ = F Q + QG > F P + P F′ = c.

よって Q は E の外部にあり、 l′l は P 以外に E と共有点をもたないことになる。よって l′l は E の接線である。 (証明終)

7.2 定理 2 の証明

楕円 E (F P + P F′ = c) に重ねて、 F を中心とし半径 c の円を書いておく。 E の長径を A′A とし、その延長である円の直径を B′B とする。図 7.2A

F P を長さ F′P だけのばした線分を F V とすれば、 F V = c ：つまり V は円周上にある。軌道の作図のときと同様、 F′V の垂直 2 等分線 l が P における E の接線である。

l に F′, F から下した垂線の足を M, H とする：次を示したい。図 7.2B

F′M · F H = 一定  (2)

E の中心 Z に対し、 M, P, H, l と対称な点 (線) を M′, P′, H′, l′ とする。 l′ は P′ における E の接線であり、 F′H′ ⊥ l′ となる。 l′ に関する F′ の対称点を U としよう。すると図 7.2C

U̸P′H′ = ^{}F̸′P′H′ =^{定理 1} ^{}F̸′P′M′

よって U, P′, F は一直線上にあり、 UP′ + P′F = F′P′ + P′F = c ：つまり U もまた円上にある。そして

F′M · F H = F′M · F′H′ = \frac{F′V}{2} · \frac{F′U}{2} .

これが一定であることは、方ベキの定理そのものである! すなわち図 7.2D

△F′B′U′ ∼ △F′V B (相似)

なので F′B′ : F′V = F′U : F′B, ∴ F′V · F′U = F′B′ · F′B = 一定。これで (2) が示された。 (証明終)