Vladimir Voevodsky 氏の業績

東北大学理学研究科数学専攻 花村昌樹

2002 年の Fields 賞を受賞したひとりである Voevodsky 氏の業績のうち Milnor 予想の証明に関することを解説する。そこでは代数的 K 理論についての問題をあつかう枠組みから考察され, 応用として予想が解決された。

本稿の準備にあたり竹田雄一郎氏より貴重なご意見を頂きました。ここに感謝の意を表します。

1. Milnor 予想

Bloch-Kato 予想 (BK; n, ℓ): k を標数が素数 ℓ と異なる体とする。 n ≥ 1 に対し自然な写像

K_{n}^{M}(k)/ℓ → H_{et}^{n}(k, μ_{ℓ}^{⊗n})

は同型である。

ここで K_{n}^{M}(k) は k の MilnorK 群である。乗法群 k^{∗} を Z-加群とみてテンソル代数 T (K^{∗}) をつくりそれを a ⊗ (1 − a) (ただし a ∈ k^{∗} は 1 でない) で生成される次数イデアルで割ると環 K_{∗}^{M}(k) が得られる。これが Milnor 環であり K_{n}^{M}(k) はその n 次部分である。 k の元の列 a_{1}, ⋯, a_{n} ∈ k^{∗} は元 (a_{1}, ⋯, a_{n}) ∈ K_{n}^{M}(k) を定める。

右辺の μ_{ℓ} は 1 の ℓ 乗根のなす Galois 加群, H_{et}^{n} はそのテンソル積の Galois コホモロジーである。 a ∈ k^{∗} にはその類 a ∈ H_{et}^{1}(k, μ_{ℓ}) が対応し,a ∪ (1 − a) = 0 が成り立つので (a_{1}, ⋯, a_{n}) を a_{1} ∪ ⋯ ∪ a_{n} に写す写像が存在する。

定理 1 (V. Voevodsky [4], [5]). (BK; n, 2) が成り立つ。

これは Milnor 予想ともよばれる（ℓ = 2 については Milnor がはじめに予想を述べた）。予想 (BK; n, ℓ) の部分的解決は A. Merkurjev, A. Suslin, M. Rost によってなされていた。 (BK; n, ℓ) は他の２つの予想と関係している。

Beilinson-Lichtenbaum 予想 (BL; n, ℓ): X を体 k 上の滑らかな代数多様体,k の標数が素数 ℓ と異なるとする。 X 上の Nisnevich 位相の層の複体の自然な写像

Z/ℓ(n) → τ_{≤n}Rπ_{∗}π^{∗}μ_{ℓ}^{⊗n}

は quasi-isomorphism である。（記号は次節を参照。）とくに

H^{p}(X, Z/ℓ(n)) → H_{et}^{p}(X, Z/ℓ(n))

は p ≤ n について同型である。ここで H^{p}(X, A(n)) は環 A に係数をもつ X のモティーフコホモロジーを表し (次節を参照), H_{et}^{p}(X, A(n)) はエタールコホモロジーを表す。

Hilbert の定理 90 の類似 (H90; n, ℓ): n ≥ 1 について,

H_{et}^{n+1}(k, Z_{(ℓ)}(n)) = 0 .

(H90; n, ℓ) は (BL; n, ℓ) を導き,(BL; n, ℓ) は (BK; n, ℓ) を含んでいる。よって定理１の証明のためには (H90; n, 2) を示せばよい。

2. モティーフコホモロジー

X を k 上の滑らかな代数多様体とする。 X には, エタール位相, Zariski 位相のほか, その中間に Nisnevich 位相が考えられ, それぞれの位相を備えた X のサイトを X_{et}, X_{Zar}, X_{Nis} で表す。 X のうえに Nisnevich 位相についての層の複体 Z(n), n ≥ 0 が存在し, モティーフ複体とよばれ, そのコホモロジー H^{p}(X_{Nis}, Z(n)) (単に H^{p}(X, Z(n)) とも書く) をモティーフコホモロジーと定義する。 Z の代わりに任意の環 A をとり, A(n) および H^{p}(X, A(n)) も定義される。とくに, A = Z_{(ℓ)}, Z/ℓ が考えられる。ここで Z_{(ℓ)} は Z の素数 ℓ についての局所化。

モティーフコホモロジーは次の性質をもつ。

1. H^{n}(Spec k, Z(n)) = K_{n}^{M}(k). H^{n}(Spec k, Z/ℓ(n)) = K_{n}^{M}(k)/ℓ.

2. H^{2n}(X, Z(n)) = CH^{n}(X). 右辺は余次元 n の Chow 群。

3. Atiyah-Hirzebruch スペクトル列の存在。これはモティーフコホモロジー ⇒ 代数的 K 理論なるスペクトル列である。

4. モティーフコホモロジーは S. Bloch が以前に代数的サイクルを用いて構成した高次 Chow 群と同型である。 1 の性質より Bloch-Kato 予想に現われる加群がモティーフコホモロジーのひとつと分かる。

また π : X_{et} → X_{Nis} を自然な写像とするとき, π^{∗}A(n) はエタール位相の層の複体であり, そのコホモロジー

H_{et}^{p}(X, A(n)) := H^{p}(X_{et}, A(n))

をエタール・モティーフコホモロジーとよぶ。写像 π^{∗} : H^{p}(X, A(n)) → H_{et}^{p}(X, A(n)) がある。 A = Z/ℓ のとき H_{et}^{p}(X, A(n)) は通常のエタールコホモロジーと一致することが知られている。そして A = Z/ℓ で p = n のとき π^{∗} : H^{n}(X, Z/ℓ(n)) → H_{et}^{n}(X, Z/ℓ(n)) は Bloch-Kato 予想に現れる写像である。

3. ノルム多様体のモティーフ

元の列 a_{1}, ⋯, a_{n} ∈ k^{∗} に対し２次形式 ∑ a_{i}x_{i}^{2} を < a_{1}, ⋯, a_{n} > で表す。２次形式 < 1, −a_{1} > ⊗ < 1, −a_{2} > ⊗ ⋯ ⊗ < 1, −a_{>} を << a_{1}, ⋯, a_{n} >> で表し Pfister 形式とよぶ。 << a_{1}, ⋯, a_{n−1} >>= a_{n}t^{2} で定義される２次超曲面を Q\underline{a} で表しノルム多様体とよぶ。次の性質をもつ。 k の拡大体 F について Q\underline{a}(F) ≠ ∅ と\underline{a} が K_{n}^{M}(F) で 2-可除 (2 で割り切れる) であることは同値。

代数多様体 X に対し, simplicial scheme Č(X) を成分 Č(X)_{n} = X^{n+1} をもち,face, degeneracy は部分対角射, 部分射影で与えられるものとする。 Č(Q\underline{a}) を 𝒳\underline{a} で表す。

定理. H^{2^{n}−1}(𝒳\underline{a}, Z(2^{n−1})) = 0.

これは M. Rost による２次超曲面の Chow 群についての結果より導かれる。

4. (H90; n, 2) の証明

Hilbert の定理 90 (H90; n, 2) を, n による帰納法で示すには次を証明すればよい。

命題 1. BK(n − 1, 2) を仮定する。任意の元\underline{a} ∈ K_{n}^{M}(k) に対し, 拡大体 K\underline{a}/k でつぎの２条件をみたすものが存在する。

(1) \underline{a} は K_{n}^{M}(K\underline{a}) において 2-可除である。

(2) H_{et}^{n+1}(k, Z_{(2)}(n)) → H_{et}^{n+1}(K\underline{a}, Z_{(2)}(n)) は単射。

K\underline{a} として Q\underline{a} の関数体をとれば (1) は成り立つ。 (2) を示すにはつぎを示せば十分である：

命題 2. H^{n+1}(𝒳\underline{a}, Z_{(2)}(n)) = 0 .

記号 𝒳̃\underline{a} で augmented simplicial scheme 𝒳\underline{a} → Spec k を表し, H̃ で簡約されたモティーフコホモロジーを表す。

命題２の証明に必要な道具はコホモロジー作用素 Q_{i} である。これは Z/ℓ 係数のコホモロジーの作用素 (i ≥ 0)

Q_{i} : H̃^{p}(−, Z/ℓ(q)) → H̃^{p+2ℓ^{i}−1}(−, Z/ℓ(q + ℓ^{i} − 1))

であり, Q_{i}^{2} = 0 をみたし, その定義は位相幾何における同様の作用素のそれにならう。以下 ℓ = 2 とする。

2 を法とする簡約 H̃^{p}(𝒳̃\underline{a}, Z_{(2)}(j)) → H̃^{p}(𝒳̃\underline{a}, Z/2(j)) は単射であることが Q\underline{a} が 2 次超曲面であることから容易にわかり, またその像は Q_{i} により保たれる。つぎの列を考える。

H̃^{n+2}(𝒳̃\underline{a}, Z/2(n)) →^{Q_{1}} ⋯ →^{Q_{n−2}} H̃^{2^{n}}(𝒳̃\underline{a}, Z/2(2^{n−1})) .

各 Q_{i} は単射であることが Q\underline{a} が超曲面であること, および BK(n − 1, 2) を用いて示される。

任意の元 u ∈ Im[H̃^{n+2}(𝒳̃\underline{a}, Z_{(2)}(n)) → H̃^{n+2}(𝒳̃\underline{a}, Z/2(n))] に対し、 Q_{n−2} ⋯ Q_{2}Q_{1}(u) は H̃^{2^{n}}(𝒳̃\underline{a}, Z_{(2)}(2^{n−1})) からの像であり、後者は Rost の結果より零であるので Q_{n−2} ⋯ Q_{2}Q_{1}(u) = 0 である。 Q_{i} の単射性より u = 0 である。

Voevodsky の証明で最も重要なのは, 𝒳\underline{a} のモティーフコホモロジーの消滅に還元したこと, 作用素 Q_{i} を考えその単射性を示し, Rost の結果と結びつけたことである。

Hilbert の定理 90 への還元とノルム多様体を使い命題１を示す方針は, Merkurjev, Suslin, Rost の仕事にすでに現われている。しかし新たな道具といくつものアイディアが必要であった。それは位相幾何との類似の追究により助けられた。

さらに予想 (BK; n, ℓ) の解決にむけて進展があると聞いている。

5. 代数的 Morava K 理論と Bloch-Kato 予想

[4], [5] に先立ち [3] において, k 上の滑らかな代数多様体に対し代数的 Morava K 理論の存在を仮定しそれより予想 (BK; n, 2) を導いた。代数的 Morava K 理論の構成は後になされた。

代数的 Morava K 理論 K(n) と代数的 K 理論との関係は Morava K 理論と位相的 K 理論との関係に平行である。素数 ℓ に対し K(n)^{∗,∗} は Z_{(ℓ)}- 係数のコホモロジー理論でスペクトル系列

E_{1}^{r,s} = H^{r}(X, Z_{(ℓ)}((ℓ^{n} − 1)s + j)) ⇒ K(n)^{r−2(ℓ^{n}−1)s,j+ℓ^{n}−1}(X)

が存在する。また周期性 K(n)^{i,j} ≅ K(n)^{i+2(ℓ^{n}−1),j+ℓ^{n}−1} をもつ。

さてsimplicial scheme 𝒳\underline{a} に対してはK(n−1)^{i,j}(𝒳\underline{a}) ≅ K(n−1)^{i,j}(Spec k) が示される。仮定 BK(n−1, 2) を用いて K(n−2) に向かうスペクトル系列を考察すると微分 d_{1} : H^{j}(𝒳\underline{a}, Z_{(2)}(i)) → H^{j+2^{n−1}−1}(𝒳\underline{a}, Z_{(2)}(i+2^{n−2}−1)) が i ≤ n + 2^{n−2} − 2 かつ 1 ≤ j − i ≤ 2^{n−2} + 1 のとき単射であることが分かる。これから写像 π^{∗} : H^{n+1}(𝒳\underline{a}, Z_{(2)}(n)) → H_{et}^{p}(𝒳\underline{a}, Z_{(2)}(n)) が零であることが示され, BK(n, 2) はこれより従う。

知りたいのは 𝒳\underline{a} の Z_{(2)} 係数のモティーフコホモロジーだが, それから出発するスペクトル系列を使い見通しがよい計算ができる。前節の (H90; n, 2)の証明は部分的にこの議論に動機づけられていると考えられる。

[Be] A. Beilinson: Height pairing between algebraic cycles. K-theory, arithmetic and geometry (Moscow, 1984–1986), 1–25, Lecture Notes in Math., 1289, Springer, Berlin, 1987.

[BK] S. Bloch, K. Kato: p-adic etale cohomology, Publ. Math., IHES 63(1986), 107-152

[Li] S. Lichtenbaum: Values of zeta-functions at nonnegative integers. Number theory, Noordwijkerhout 1983 (Noordwijkerhout, 1983), 127– 138, Lecture Notes in Math., 1068, Springer, Berlin, 1984.

[Mi] J. Milnor: Algebraic K-theory and quadratic forms. Invent. Math. 9 (1969/1970) 318–344.

[Me] A.S. Merkurjev: On the norm residue symbol of degree 2. (Russian) Dokl. Akad. Nauk SSSR 261 (1981), no. 3, 542–547.

[MS 1] A.S. Merkurjev, A.A. Suslin: K-cohomology of Severi-Brauer varieties and the norm residue homomorphism. (Russian) Dokl. Akad. Nauk SSSR 264 (1982), no. 3, 555–559.

[MS 2] A.S. Merkurjev, A.A. Suslin: Norm residue homomorphism of degree three. (Russian) Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 54 (1990), no. 2, 339–356; translation in Math. USSR-Izv. 36 (1991), no. 2, 349–367.

[Ro] M. Rost: On the spinor norm and A_{0}(X, K_{1}) for quadrics, www.math.ohiostate.edu/ rost.

[1] V. Voevodsky: The A^{1}-homotopy theory, Proc. of the International Congress of Mathematics, vol. 1, 570-604, 1998, Berlin.

[2] F. Morel and V. Voevodsky: A^{1}-homotopy theory of schemes, Publ. Math. IHES 90(1999), 45-143.

[3] V. Voevodsky: Bloch-Kato conjecture for Z/2-coefficients and algebraic Morava K-theories, preprint, 1995.

[4] V. Voevodsky: Milnor conjecture, preprint, 1996.

[5] V. Voevodsky: On 2-torsion in motivic cohomology, preprint, 2001.