混合モティーフの理論と応用

東北大学理学研究科 花村昌樹

1. Grothendieck のモティーフ理論から混合モティーフへ有限体上の代数多様体の合同ゼータ関数についての Weil 予想（有理点の個

数の評価を与える）は, Grothendieck による代数幾何学の基礎づけの主な動機であった. この予想は ℓ 進コホモロジー（位相幾何における通常のコホモロジーの類似）への Frobenius 写像の作用の固有値に関する予想に定式化し直せる. Serre は Kähler 多様体のコホモロジーについて Weil 予想の類似を考えた. Grothendieck はこれに触発され, いくつかの“標準予想”のもとで, 種々のコホモロジー理論がモティーフ理論（普遍的なコホモロジー理論）として統合ができること, 特に Weil 予想が従うことを見出した. これはGrothendieck モティーフの理論とよばれる.

Deligne は ℂ 上あるいは有限体上の準射影的代数多様体のコホモロジーについて, ウェイトの理論をつくった. これは Weil 予想の証明もふくむ.

代数体 F のゼータ関数の整数点での値は数論的な重要さをもつが, それは代数的 K 群 K_{∗}(F) からの regulator 写像 K_{∗}(F) → ℝ と関係している (A. Borel の定理 ). 代数体上の楕円曲線 X 上のゼータ関数の整数点での値についても予想がなされており, X の K 群が関係する (S. Bloch).

ℂ 上のスムーズな射影的代数多様体 X の Chow 群 CH^{r}(X) （余次元 r の代数的サイクルの有理同値類のなす群）を考える. r = 1 のとき Chow 群はあるアーベル多様体 Pic^{0}(X) の有限生成アーベル群による拡大である. しかし r ≥ 2 のときは代数多様体の構造が入れられないほど大きいことが知られている. S. Bloch は CH^{r}(X) を研究する手掛かりとして, それがあるフィルトレーションを持ち, その各部分商が X の通常のコホモロジーで統制されているだろうと提唱した.

A. Beilinson は体上の代数多様体の混合モティーフのアーベル圏の理論を仮説として提出した. これは (1)Grothendieck のモティーフ理論を含み, (2) スムーズと限らない準射影的多様体のコホモロジーのウェイトの理論を統合し, (3)Chow 群およびそのフィルトレーションを説明し, (4) 代数体上の代数多様体のゼータ関数の値に関する予想の定式化を明確にする.

混合モティーフのアーベル圏の代りに, その導来圏に相当する三角圏の構成がなされれば, 実際に十分に役立つ. この混合モティーフの三角圏の理論は [Le], [Vo], [Ha-1,2,3] により独立に得られた. 三つの構成はかなり異なるが三角圏として同値であることが示された. 三角圏の理論とともに, 対応するコホモロジー理論, モティヴィック・コホモロジーも構成された, [Ha-HC], [Fr-Vo]. Grothendieck のモティーフについては詳述しないが, 4 節において S = Spec k とすれば得られる.

2. 体 k 上の混合モティーフの三角圏の構成本節については [Ha-1,2,3] を参照. k を任意の体とし, (Smooth P roj/k) で

k 上のスムーズな射影的代数多様体の圏を表す.

三角圏とは加法圏 𝒞 で, シフト関手 T : 𝒞 → 𝒞 と三角図式とよばれる X ⟶^{u} Y ⟶^{v} Z ⟶^{w} T X の形の図式の族が与えられており, ある公理をみたすものをいう. T X = X[1] と表す. 定理 2.1 次のような三角圏 𝒟(k) が構成できる. (1)𝒟(k) はテンソル積構造をもち, それは三角圏の構造と両立する. Tate 対象 ℤ(n) (n ∈ ℤ) が存在し, ℤ(0) はテンソル積についての単位対象であり, ℤ(n) = ℤ(1)^{⊗n} である. 𝒟(k) は擬アーベル圏である.

(2) 関手 h : (Smooth P roj/k)^{opp} → 𝒟(k) があり, スムーズ射影的多様体 X に対し関手的同型

Hom_{𝒟(k)} (ℤ(0), h(X) ⊗ ℤ(r)[2r − n]) = CH^{r}(X, n)

が存在する. 右辺は (S.Bloch の定義した) X の高次 Chow 群である. (3)k ⊂ ℂ とする. Betti コホモロジー関手 H_{B}^{∗} : 𝒟(k) → gr V ect_{ℚ} が存在し, h との合成は Betti コホモロジー X ↦ H^{∗}(X(ℂ), ℚ) と一致する. ここで gr V ect_{ℚ}はℚ上の有限次元次数付きベクトル空間の圏を表す. 同様に任意の体k と素数ℓ ≠ ch k に対し, ℓ進エタール・コホモロジー関手H_{ℓ}^{∗} : 𝒟(k) → gr V ect_{ℚ_{ℓ}} が存在する. h との合成は H_{ét}^{∗}(X ⊗_{k} k̄, ℚ_{ℓ}) と一致する.

加法圏 𝒞 が擬アーベル圏であるとは, 対象 X の自己準同型 p : X → X が p ∘ p = p をみたすとき, p の核 Ker p が存在することである.

(2) における高次 Chow 群は, スムーズとは限らない代数多様体 X に対して次のように定義される ([Bl]). Δ^{n} = Spec k[t_{0}, ⋯, t_{n}]/(∑ t_{i} − 1) は 𝔸^{n} に同型で, D_{i} = {t_{i} = 0} は特別な因子である. Δ^{n} は位相幾何における単体の代数的類似である. D_{i} のいくつかの交わり F を face という. n ↦ Δ^{n} は cosimplicial スキームをなす. r ≥ 0 が与えられたとき, X ×Δ^{n} の余次元 r の既約部分多様体 V で各 face F とプロパーに交わるもの, 即ち codim(V ∩ (X × F)) ≥ r + codim F をみたすものを考え, それらで生成される自由アーベル群を 𝒵^{r}(X, n) で表す. 余次元 1 の face への制限写像により, ホモロジー複体 n ↦ 𝒵^{r}(X, n) を得る. この複体のホモロジー群を高次 Chow 群と定める: CH^{r}(X, n) = H_{n}𝒵^{r}(X, ·). n = 0 のとき CH^{r}(X, 0) は通常の Chow 群 CH^{r}(X) に他ならない. Bloch により次が示されている. 自然な同型

CH^{r}(X, n)_{ℚ} ≅ K_{n}(X)_{ℚ}^{(r)}

が存在する. ここでアーベル群 A に対し A_{ℚ} = A⊗_{ℤ}ℚ とする. 右辺の K_{n}(X) は Quillen の K 群であり, K_{n}(X)_{ℚ} は Adams 作用についての固有空間 K_{n}(X)_{ℚ}^{(r)} の直和に分解する.

X を k 上のスムーズな射影的多様体とし, H^{i}(X) で Betti コホモロジーまたは ℓ 進コホモロジーを表す. サイクル写像 cl : CH^{r}(X) → H^{2r}(X) が存在する. その像が ℚ 上生成する部分空間を H_{alg}^{2r}(X) で表す. その元を代数的という. Grothendieck の標準予想は (1) この部分空間が強 Lefschetz 型の定理の類似をみたすこと, および (2) この部分空間が Hodge 指数定理の類似をみたすこと, からなる.

Bloch-Beilinson-Murre の予想は, Chow 群 CH^{r}(X)_{ℚ} が適当な有限フィルトレーション CH^{r}(X)_{ℚ} = F^{0} ⊃ F^{1} ⊃ ⋯ ⊃ F^{r+1} = (0) をもち, 代数的対応について関手的であり, F^{ν} CH^{r}(X)/F^{ν+1} CH^{r}(X) が (正確に述べられる意味で) H^{2r−ν}(X) にのみ依ることである. このようなフィルトレーションの存在は, Bloch により示唆された. Beilinson は混合モティーフのアーベル圏を仮説として考え, Chow 群とそのフィルトレーションがいかに与えられるべきかを論じた. Murre は X の自己代数的対応の環 CH^{dim X}(X × X) の単位元がベキ等元の和への分解をもち, それによってフィルトレーションが記述できると予想した.

Beilinson-Soulé の消滅予想は, CH^{r}(X, n)_{ℚ} が n > 0 かつ 2r − n ≤ 0 のとき 0 であることである.

三角圏 D の t-構造とは部分圏の対 (D^{≤0}, D^{≥0}) である公理をみたすものである. その核 D^{≤0} ∩ D^{≥0} はアーベル圏である. 例えば gr V ect_{ℚ} は次数による t-構造をもつ. 定理 2.2 以上の 3 つの“標準的な”予想の成立を仮定すると, 𝒟(k) は次のような t-構造を一意的にもつ. 関手 H^{∗} : 𝒟(k) → gr V ect_{K} は t-構造を保つ (K はコホモロジーの係数体=ℚ, ℚ_{ℓ}).

3. モティヴィック・コホモロジー [Ha-MP],[Ha-HC] を参照. 位相幾何においては, ホモロジー, Borel-Moore

ホモロジー, コホモロジー, コンパクト台のコホモロジーの 4 つの理論があり, 種々の性質をみたす. 代数的サイクルを用いたモティヴィック理論においても, 高次 Chow 群 (=Borel-Moore 理論) から出発して他の 3 つの理論を構成できる. コホモロジーに対応するモティヴィック理論に関する次の定理においては特異点解消を用いるため体の標数を 0 とする. k 上のスムーズと限らない準射影的代数多様体の圏を (Quasi-P roj/k) で表す.

定理 3.1 (k の標数は 0 とする.) 定理 2.1 における関手 h はある拡張

h : (Quasi-P roj/k)^{opp} → 𝒟(k)

をもつ. 対応する反変関手 (i, r ∈ ℤ)

X ↦ H_{ℳ}^{i} (X, ℤ(r)) = Hom_{𝒟(k)} (ℤ(0), h(X) ⊗ ℤ(r)[i])

がモティヴィック・コホモロジーである.

実際は, まずモティヴィック・コホモロジーを以下のように定義し, 次に h を構成する. X に対し, その hyperresolution (Navarro-Aznar による) をとる. これは Deligne による hypercovering の類似物である. 詳しい定義は省くが, これは X への augmentation をもつ truncated simplicial scheme n ↦ X_{n} であり, 各項 X_{n} はスムーズで, X と X_{•} のコホモロジーが同型であるという性質をもつ : H^{∗}(X) →^{∼} H^{∗}(X_{•}). 各 X_{n} のサイクル複体 𝒵^{r}(X, •) をとり, face map X_{n} → X_{n−1} による引戻しの交代和をとることにより二重複体

0 → 𝒵^{r}(X_{0}, •) → 𝒵^{r}(X_{1}, •) → ⋯

を得る. その全複体を 𝒵^{r}(X_{•}, •) とし, H_{ℳ}^{i} (X, ℤ(r)) = H^{2r−i}𝒵^{r}(X_{•}, •) と定める. 右辺が標準的な同型を除き X_{•} のとり方に依存しないこと, および X ↦ H_{ℳ}^{i} (X, ℤ(r)) が X について反変関手をなすことが証明できる ([Ha-HC]). X がスムーズなら明らかに H_{ℳ}^{i} (X, ℤ(r)) は CH^{r}(X, 2r − i) と一致する.

定理 3.1 において存在が主張されている関手 h はいくつかの性質をもち, そのひとつが述べられているモティヴィック・コホモロジーとの関係である. そのほか, h は Mayer-Vietoris 型完全性などもみたす.

同様にコンパクト台のモティーフ関手 h_{c} も存在する. 対応して, コンパクト台のモティヴィック・コホモロジーが得られる.

4. 相対モティーフの理論本節については [CH] を参照. 体上の純粋モティーフの理論は次のように体

上の代数多様体のうえの純粋モティーフ理論に拡張される.

S を k 上の準射影的多様体とする. k 上のスムーズな準射影的多様体 X で射影的写像 p : X → S が与えられているものを考え, それらのなす圏を (Smooth/k, P roj/S) で表す. この圏の対象 p : X → S, q : Y → S に対し Chow 群 CH_{∗}(X ×_{S} Y) を考え, その元を X から Y への S 上の代数的対応という. 代数的対応の合成

CH_{a}(X ×_{S} Y) ⊗ CH_{b}(Y ×_{S} Z) → CH_{a+b−dim Y} (X ×_{S} Z),
u ⊗ v ↦ v ∘ u,

が定義され結合律が成り立つ (合成の定義については [CH] を参照). 特に CH_{dim X}(X ×_{S} X) は合成について環の構造をもち, [Δ_{X}] が単位元である.

S 上の Chow モティーフの擬アーベル圏は, 対象は (X/S, r, P) の形のものからなる. ここで p : X → S は (Smooth/k, P roj/S) の対象であり, r ∈ ℤ であり, X の成分を X_{i} とするとき, P は ⨁_{i} CH_{dim X_{i}}(X ×_{S} X_{i}) の元で P ∘ P = P をみたすものである. (Y, s, Q) が他の対象で Y の成分を Y_{j} とするとき, 射の群を

Hom ((X, r, P), (Y, s, Q)) = Q ∘ (⨁_{j} CH_{dim Y_{j}−s+r}(X ×_{S} Y_{j})) ∘ P

と定め, 射の合成は代数的対応の合成からみちびかれるものとする. h(X/S) = (X, 0, Δ_{X}) と定める. CHℳ(S) の対象はモティーフ層とよばれる. S = Spec k のとき, k 上の Chow モティーフの圏 CHℳ(k) を得る.

k ⊂ ℂ のとき, D_{c}^{b}(S) = D_{c}^{b} (S(ℂ), ℚ) を S(ℂ) のうえの ℚ-係数の構成可能層の導来圏とする. 実現関手 ρ : CHℳ(S) → D_{c}^{b}(S) が存在する.

また, S 上の Grothendieck モティーフの擬アーベル圏 ℳ(S) も構成できる. 自然な充満な関手 cano : CHℳ(S) → ℳ(S) と忠実な実現関手 ρ : ℳ(S) → P erv(S) がある. ここで P erv(S) は S 上の perverse 層のなすアーベル圏である. 実現関手 ρ を通じ, 関手 cano と perverse コホモロジー関手^{p}ℋ ^{∗} = ⨁_{i} ^{p}ℋ ^{i} : D_{c}^{b}(S) → P erv(S) は両立する. 次の定理では k = ℂ とする.

定理 4.1. Grothendieck の予想と Bloch-Beilinson-Murre の予想を仮定する. p : X → S を (Smooth/k, P roj/S) の対象とする. S のある代数的な Whitney stratification {S_{α}} について以下が成り立つ.

(1) 圏 CHℳ(S) における直和分解

h(X/S) = ⨁_{j,α} h_{α}^{j}(X/S),

スムーズな stratum S_{α} − S_{α+1} 上の局所系 𝒱_{α}^{j}, および同型

ρ (h_{α}^{j}(X/S)) ≅ IC_{S_{α}} (𝒱_{α}^{j}) [−j + dim S_{α}]

が存在する. 右辺の IC(𝒱) は交叉複体を表す.

(2) 各 i について, ⨁_{j≤i, α} h_{α}^{j}(X/S) は分解のとり方に依らず一意的に定まる部分対象である.

(3) 圏 ℳ(S) は半単純なアーベル圏である. 関手 ρ : ℳ(S) → P erv(S) は完全である.

アーベル圏が半単純とは任意の部分対象が直和因子であることである. (1) の分解は perverse 層の理論におけるいわゆる分解定理 ([BBD] を見よ) をモティーフ層に持ち上げたものなので, X/S のモティヴィック分解という. S が Spec k のとき, X の絶対モティヴィック分解という.

p : X → S が特別な, しかし興味深いファイブレーションであるとき, 予想を仮定せず上定理の (1) の分解の存在を証明できる場合がある. [GHM-1] では S が Hilbert モデューラー多様体, X がそのうえの普遍族の自己直積のコンパクト化である場合に (1) の分解を示した. この場合にはさらに議論を進め X の絶対モティーフ分解の存在を示すことができ, 特に Grothendieck の標準予想が検証できる ([GHM-2]).

参考文献 (Grothendieck の理論については Kleiman や Manin の論文がある.)

[Be] A. Beilinson : Height pairing between algebraic cycles, Contemp. Math. AMS 67 (1987), 1 - 24.

[BBD] A. Beilinson, J. Bernstein, and P. Deligne: Faisceaux Pervers, Asterisque 100 (1982), Société mathématique de France.

[Bl] S. Bloch : Algebraic cycles and higher K-theory, Adv. in Math. 61 (1986), 267 - 304.

[CH] A. Corti and M. Hanamura: Motivic decomposition and intersection Chow groups I, Duke Math. J. 103 (2000), 459–522. [Fr-Vo] E. Friedlander and V. Voevodsky : Bivariant cycle cohomology, in: Cycles, Transfers, and Motivic Cohomology Theories (by V. Voevodsky, A. Suslin, and E. M. Friedlander), Princeton Univ. Press (2000). [GHM-1] B. Gordon, M. Hanamura, J.P. Murre: Relative Chow-Künneth projectors for modular varieties. J. Reine Angew. Math. 558 (2003), 1–14. [GHM-2] B. Gordon, M. Hanamura, J.P. Murre: Absolute Chow-Künneth projectors for modular varieties. J. Reine Angew. Math. 580 (2005), 139–155.

[Ja] U. Jannsen : Motivic sheaves and filtrations on Chow groups, Proc. of Symp. in Pure Math. 55 (1994), 245–302. [Ha-1,2,3] M. Hanamura: Mixed motives and algebraic cycles, I. Math. Res. Lett. 2 (1995), no. 6, 811–821; II, Invent. Math. 158 (2004), no. 1, 105–179; III. Math. Res. Lett. 6 (1999), no. 1, 61–82. [Ha-MP] M. Hanamura: The mixed motive of a projective variety. The arithmetic and geometry of algebraic cycles (Banff, AB, 1998), 183–193, CRM Proc. Lecture Notes, 24, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2000. [Ha-HC] M. Hanamura: Homological and cohomological motives of algebraic varieties, Invent. Math. 142(2000), 319-349. [Ha-Pol] M. Hanamura: Polylogarithms and mixed motives. 代数的整数論とその周辺 (京都 2002). 数理解析研究所考究録 No. 1324 (2003), 99–106. [Kl-1] S. Kleiman : Algebraic cycles and Weil conjectures, Dix exposés sur la cohomologie des schémas, 359 – 386, North Holland, Amsterdam, 1968. [Kl-2] — : Motives, In : Algebraic Geometry Oslo 1970, Wolters-Noord1972, p. 53-82.

[Le] M. Levine : Mixed Motives, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 57, 1998, American Math. Soc.

[Ma] Y. Manin : Correspondences, motifs and monoidal transformations,

[Mu] J. P. Murre : On a conjectural filtration on the Chow groups of algebraic varieties, I, Indag. Math. 4 (1993), 177–188, II, ibid, 189–201.

[Vo] V. Voevodsky : Triangulated categories of motives over a field, in: Cycles, Transfers, and Motivic Cohomology Theories, Princeton Univ. Press (2000).