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黒木のなんでも掲示板 (0083)

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Id: #a20030606172113  (reply, thread)
Date: Fri Jun 06 17:21:13 2003
In-Reply-To: a0083.html#a20030606153528
Name: 時田 節
Subject: 2本縦て 家庭教師

少ない学習時間ですが、2本縦てにして、背伸びする部分と、場合によっては中高レベルに戻る部分の2本縦てにされたら。
今読みたい論文は何であり、読めない原因と自分が考える部分をupされては?
家庭教師(近くの帝大の院生など、相性がわるければ使い捨て)に、原因の自己診断について相談する。

http://www.iwanami.co.jp/.BOOKS/00/7/0076500.html
など、本屋さんで手にしてどう感じられます?
http://www.iwanami.co.jp/.BOOKS/00/7/0077760.html
など、本屋さんで手にしてどう感じられます?
Mathematicaなど、この手の本の演習問題を解けますよ。それを新井さんの得意の言語で書いてみたら?

りんくしてある、既存のリソースは初学者向けでない名著や『と』や文系にぴったり(24)など玉石混交ですが、(11)の数学入門シリーズの雨宮の微分積分や岩掘の2次行列など高校と学部の境あたりから、もう1本の方は基礎からじっくりはじめられても。(絶版だが市立図書館などに)
Id: #a20030606153528  (reply, thread)
Date: Fri Jun 06 15:35:28 2003
Name: 新井
Subject: 数学の入門書を推薦して頂けませんか?

ソフトウェア技術者の新井ともうします。
以前に何度か書き込みをしました。

私は中学校を(あまり出席してなかったものの)卒業後、独学でソフトウェアエンジニアとして働いてきました。大検などはとったものの数学は苦手で、いまでもフーリエ変換や暗号処理などは全てライブラリに任せる体たらくです。

けれど、ソフトウェアエンジニアに求められる資質は年々高まりつつあり、生き延びていく(職を確保しつづける)には修士や博士程度の学識(や資格)が求められるようになってきました。論文を読むのにも、数学的知識がなくて読みこなせない部分もあり、非常に悔しくおもっているのです。

そこで数学能力のキャッチアップをするため独習したいと考えているのですが、書店の本棚には多くの数学書がならび、どれを選んでよいのかもわかりません。いくつか買ったことはあるのですが、どうも独習向きではないようで、正直ほとんどがちんぷんかんぷんです。

高校の数学から入って、学部の計算機科学で学ぶような程度までそこそこ理解できるようになれればとおもっています。

さほど理論を突き詰めたいわけではなく、ソフトウェア分野の論文の読み書きにひどく困らない程度の教養として数学を学びたいのです。

高校から大学学部の数学について、もし独習向きの書籍をご存知でしたらお薦めいただければとおもいます。
私は数学が苦手ですので、平易な解説があり、練習問題なども詳細であれば最適です。網羅的だとなお嬉しいです。
より平易で網羅的であれば英語の書籍でもかまいません。
仮に平易でなくても、これを理解できればOKだ、みたいな書籍があれば、何とか挑戦してみようとおもいます。

(数学とかを分かりやすく説明するのは米国人のほうが得意そうな気がします...)
(本当はプログラミングなどの応用例と結びついて説明してもらえると分かりやすいですが、そこまで贅沢はいいません。)

長々と勝手なお願いで恐縮ですが、きっと他にも同じように数学を基礎知識として身に着けたい人は多いかとおもいます。もしお薦めいただければ幸いです。

既存の見つけたリソース:
文系が選ぶ数学書: これは学部レベルでしょうか?

追伸: shiroさん、ご無沙汰してます。未踏でご一緒した新井です。またそのうちお会いしたいです。ではでは。

Id: #a20030605184718  (reply, thread)
Date: Thu Jun 05 18:47:18 2003
In-Reply-To: a0083.html#a20030603182157
URL: http://www.shiro.dreamhost.com/scheme/
Name: Shiro
Subject: 代入
以前spam filterの件で書き込みましたShiroという者です。

少々オフトピックなのですが、黒木さんの
>比較の等号よりも代入の操作の方をたくさん使うので、
>代入を意味する記号を入力し易くしてある方がありがたい。
に反応します。

私はエンジニアリング出なので想像なのですが、なんとなく数学者
は代入を使うスタイルよりも関数型プログラミングの方を好みそうな
気がするのです。実際はあまり気にならないものなのでしょうか。

まあKnuthのような人もいるからそうとは限らないのでしょうが…

(代入ではなく定義に '=' を使う、ということでしたら失礼)。

Id: #a20030604192957  (reply, thread)
Date: Wed Jun 04 19:29:57 2003
In-Reply-To: a0083.html#a20030603182157
Name: i-ko
Subject: 文字式の導入

黒木さん「数学を教えていると、数学的に本質的な部分を「なんとなく」理解しつつあることは観察できるが、数学的内容を正確に表現する方法を知らないせいで、滅茶苦茶を書かれて「うぎゃ!」となることはよくあります。そういう場合はなんとかして「あなたは数学的な本質をほぼ理解しつつあるようだ。それはあなたの数学的才能のあかしだ。しかし、数学的内容を正確に表現する方法を知らないせいでそれ以上先に進めなくなっている」ということを納得してもらいたいと思うのですが、これが非常に難しい。本当に難しい。そういうことは本人が膨大な時間をかけて一段高い理解に達するという経験をすることによって納得する以外に不可能であるような気がしないでもない。」

まさに算数レベルでそのようなことを中1の文字式導入で感じていたところでした。文字式導入では問題の本質的な内容としてはは小学生レベルのものが多いです。それができない。計算の内容としてはいままでのものよりも楽なのに、文章を読んで想像する力がない。そのなかでも小学生の問題のように数値があれば、きちんと答えだけは出せる生徒がいます。でも式が書けなければ文字式では通用しない。数字におきかえれば、答えだけが出せる生徒はまさに、「数学的内容を正確に表現する方法を知らないだけ」と思うのです。私はそれをクリアするには、まず小学生レベルの答えを式で表す訓練が必要じゃないかと思いました。そこできょうはまさに小学生の問題を答えを出さずに式だけ書かせる練習をさせてみました。

ところが一緒にやっている先生から、「答えが出せる生徒にわざわざ式を書かせる必要があるのか。答えがでるのだからいいのではないか。生徒は答えを書かないことを気持ち悪がっている。」と言われてしまいました。私は経験がないので、また迷ってしまっています。

黒木さんが難しいと言われているのなら、たしかにこんな訓練も無駄のようにも思えてしまいます。本人が気がつくしかない。まさにそうなのでしょう。無理やり式を書かせるなんていうことは、できる生徒の芽を摘み、できない生徒にとっては時間の無駄なのか?とても迷ってしまっています。



Id: #a20030603233929  (reply, thread)
Date: Tue Jun 03 23:39:29 2003
In-Reply-To: a0083.html#a20030603224323
Name: 志村立矢
Subject: 計算とか電卓とか

> 何がきっかけだったか忘れましたが、私は小学校低学年の頃に父から開平計算を習いまして、平方根はずーっと手で計算していました。

√3 とか √7 とかの値を筆算で小数点以下十数桁求めてから答を 2 乗し て小数点の下に 99999999... と並ぶのを確かめ、次に末尾の桁に 1 を加えて 2 乗。今度は 00000000... がきれいに並ぶのを見て、喜んでいた記憶があり ます。(今になって考えると、子供だから根気が続いたのだと思います)

√キーぐらいしか付いていない 8 桁電卓で、×2√√ の順にキーを繰り返 し押すことで 2 の 3 乗根の値を計算してみるとか、sin x のテーラー展開に π や π/6 を代入してみるとかもしていました。

関数電卓はほとんど使わなかったのですが、HP の逆ポーランド電卓はと ても気にいっていました。それに前後して、「数学セミナー」のバックナンバーで 次の記事を読んだ影響があるのだと思います。

そういえば、次の記事も面白かった。


Id: #a20030603224323  (reply, thread)
Date: Tue Jun 03 22:43:23 2003
In-Reply-To: a0083.html#a20030603210200
Name: きくち
Subject: 平方根

何がきっかけだったか忘れましたが、私は小学校低学年の頃に父から開平計算を習いまして、平方根はずーっと手で計算していました。電卓ニュートン法より速い気がする(^^
大学の教養部の頃、物理実験のレポート半年分の計算をすべて三角関数表と対数表と手計算とでやって、あまりに大変だったので残りの半年に電卓を導入したのでした。テキサス・インスツルメンツのプログラム電卓(磁気カードなしの安いほう)でしたね。

Id: #a20030603220716  (reply, thread)
Date: Tue Jun 03 22:07:16 2003
In-Reply-To: a0083.html#a20030603210200
Name: くろき げん
Subject: [Store Memory] のボタンがなくて [M+] のボタンがある場合

某所で「[Store Memory] のボタンがなくて [M+] のボタンがある場合が多いのでは」と指摘されたので修正版も書いておきます。

平方根: xn+1 = xn + (a/xn - xn)/2

  1. 初期値をメモリーに記憶。 (メモリーをクリアして [M+] ボタンで初期値をメモリーに足す)
  2. 「a÷メモリー」を計算。 (この結果は a/xn)
  3. 「その結果−メモリー」を計算。 (この結果は a/xn - xn)
  4. 「その結果÷2」を計算。 (この結果は (a/xn - xn)/2)
  5. その結果をメモリーに足す。 (メモリーの内容が xn+1 に)
  6. ステップ 2 に戻る。

ステップ2以降のループは「a ÷ RM − RM ÷ 2 = M+」

立方根: xn+1 = xn + (a/xn2 - xn)/3

  1. 初期値をメモリーに記憶。 (メモリーをクリアして [M+] ボタンで初期値をメモリーに足す)
  2. 「(a÷メモリー)÷メモリー」を計算。 (この結果は a/xn2)
  3. 「その結果−メモリー」を計算。 (この結果は a/xn2 - xn)
  4. 「その結果÷3」を計算。 (この結果は (a/xn2 - xn)/3)
  5. その結果をメモリーに足す。 (メモリーの内容が xn+1 に)
  6. ステップ 2 に戻る。

ステップ2以降のループは「a ÷ RM ÷ RM − RM ÷ 3 = M+」

円周率を求めるうまいやり方があれば普及させる価値があると思うのですが、まだ何も考えてません。


Id: #a20030603210200  (reply, thread)
Date: Tue Jun 03 21:02:00 2003
In-Reply-To: a0083.html#a20030603200523
Name: くろき げん
Subject: 電卓のメモリーの有効利用でニュートン法

フォントサイズ -1 で drake さん曰く、「(…………できれば過去形で書いていただきたかった…(^_^)………)」。誤解はないと思いますが、驚かせてごめんなさい。

子どものときに電卓はすごいおもちゃだと思いました。その頃の感覚を思い出してみると現代のパソコンは夢のようなおもちゃだということになりますね。しかし、人の欲には限りがないのでまだまだ満足できない。

私が初めて手に入れた電卓にはなんと√の機能が無かったのだ。どこで調べたのかわかりませんが、ニュートン法というのがあることを知って、それで√を計算していました。 a > 0 の平方根は次の数列の極限になっています:

xn+1 = (a/xn + xn)/2

初期値 x0 はできるだけ √a に近い方が良いのですが、 x0 = a でも良い。たとえば、 a = x0 = 2 のとき

x1 = 1.5,
x2 = 1.416666667,
x3 = 1.414215686,
x4 = 1.414213562 (「ひとよひとよにひとみごろ2」で収束).

これを数字を一つだけ記憶できる電卓でやるためには次のようにすれば良いのだ:

  1. 初期値をメモリーに記憶させる。
  2. 「a÷メモリー」を計算。 (この結果は a/xn)
  3. 「その結果+メモリー」を計算。 (この結果は a/xn + xn)
  4. 「その結果÷2」を計算。 (この結果は (a/xn + xn)/2 = xn+1)
  5. その結果をメモリーに記憶させる。
  6. ステップ 2 に戻る。

慣れると超高速でできます。 a > 0 の立方根の計算は

xn+1 = (a/xn2 + 2xn)/3

でできるので、

  1. 初期値をメモリーに記憶させる。
  2. 「(a÷メモリー)÷メモリー」を計算。 (この結果は a/xn2)
  3. 「その結果+メモリー+メモリー」を計算。 (この結果は a/xn2 + 2xn)
  4. 「その結果÷3」を計算。 (この結果は (a/xn2 + 2xn)/3 = xn+1)
  5. その結果をメモリーに記憶させる。
  6. ステップ 2 に戻る。

drake さんの発言を見てふと思い出したので書きたくなってしまいました。

「電卓でもっとすごいことができるぞ」と言いたい方はたくさんいそうだな。こういうことになると異様に頭が回る奴は昔からたくさんいた。


Id: #a20030603200523  (reply, thread)
Date: Tue Jun 03 20:05:23 2003
In-Reply-To: a0083.html#a20030603182157
Name: drake
Subject: 「同じ記号を違う意味で使うこと」 -- 電卓用

> さて、 drake さんのように書き方だけが社会的習慣と違う場合は
> 数学的な内容の理解の点では問題がありません。

(…………できれば過去形で書いていただきたかった…(^_^)………)

ところで、「同じ記号を違う意味で使うこと」を例の変な演算式に当てはめてちょっと手を加えると、電卓の操作説明になるということに気が付きました。
例えば、12+7=19−13=6×2=12÷3=4 を使って、

電卓の四則演算操作手順[例]
但し、括弧内はそのときディスプレイに表示される数値を表わす。

12+7=(19)−13=(6)×2=(12)÷3=(4)

という風に。
もちろんこの場合の「=」は「=」キーの意味です。


Id: #a20030603182157  (reply, thread)
Date: Tue Jun 03 18:21:57 2003
Name: くろき げん
Subject: 「同じ記号を違う意味で使うこと」や「違う記号を同じ意味で使うこと」はよくある

「同じ記号を違う意味で使うことはよくあるし、違う記号を同じ意味で使うこともよくある」という事実は大人になる過程で当然身に付けておくべき知識の一つかもしれませんね。

個人的には、プログラミング言語における代入記号は = の一文字の方が打ち込み易いので好きです。比較の等号よりも代入の操作の方をたくさん使うので、代入を意味する記号を入力し易くしてある方がありがたい。

ここで余談。最近ときたさんに刺激されて数式処理でランダムに問題を生成することにしました。ときたさんがプロフェッショナルな Mathematica が使える環境をすぐに用意できなかったので、手もとの Linux マシンにインストールしてあった古い Maple を使いました (Maple に関する予備知識はゼロ)。そのとき代入を = と書いてしまったせいで生じた単純なバグに30分ほど悩まされてしまった。 := とコロンを追加した瞬間に思った通りに問題が生成され始めたときにはガックリ。整数を成分に持つ対称行列をランダムに生成して固有値が全部整数ならば固有値とそれを対角化する直交行列を出力するというプログラムです。固有値がすべて整数という状況だけに制限するのはちょっとインチキなんですが、計算練習が目的ではなく、数学的な仕組みを納得してもらうことが目的なのでそういう問題が必要なのだ。

その次に、ランダムに生成した行列がサイズが2以上の Jordan 細胞を持つならばそれを出力するというプログラムを書いて実行してみたら、長時間待っても出力が一つも出て来ない。ほとんどすべての行列は対角化可能だという事実を実感できました。結局、行列の基本操作を表現する行列をランダムにかけ合わせて可逆な行列を生成し、それで答の標準形を相似変換することによって Jordan 標準形を求める問題をランダムに生成することにしました。

さて、 drake さんのように書き方だけが社会的習慣と違う場合は数学的な内容の理解の点では問題がありません。

数学を教えていると、数学的に本質的な部分を「なんとなく」理解しつつあることは観察できるが、数学的内容を正確に表現する方法を知らないせいで、滅茶苦茶を書かれて「うぎゃ!」となることはよくあります。そういう場合はなんとかして「あなたは数学的な本質をほぼ理解しつつあるようだ。それはあなたの数学的才能のあかしだ。しかし、数学的内容を正確に表現する方法を知らないせいでそれ以上先に進めなくなっている」ということを納得してもらいたいと思うのですが、これが非常に難しい。本当に難しい。そういうことは本人が膨大な時間をかけて一段高い理解に達するという経験をすることによって納得する以外に不可能であるような気がしないでもない。

こういうことは算数レベルからよくあることなのだと思います。内容をほぼ理解 (完壁でなくても良い) した上で非標準的な書き方をしている場合はできるだけ好意的に扱うべきだし、答があっていても単に形式を丸暗記しているだけだとやばい。でも形式は形式で重要なのでそちらも適切なやり方で好意的に扱うべきだと思う。


Id: #a20030603173021  (reply, thread)
Date: Tue Jun 03 17:30:21 2003
In-Reply-To: a0083.html#a20030602213450
Name: くろき げん
Subject: これを書くのは数年ぶり?

かわせさん、「○○先生」は禁止 (「先生」の使用禁止)。からかうつもりなら、かまわないんですが。


Id: #a20030602213450  (reply, thread)
Date: Mon Jun 02 21:34:50 2003
In-Reply-To: a0083.html#a20030602205110
URL: river_r@d1.dion.ne.jp
Name: かわせりゅういち
Subject: Re: 電卓とか
こんにちは
数学の黒木先生がおっしゃるなら、
  ばか、考え直して来るべきだ.
とか、いわれそうです.

> 今でこそ電卓はどこでも見かけるものになっていますが、それがとても珍ら
> しい時代にも等号の意味を間違って理解している小中学生はたくさんいたと思 います。
右辺の数式!(算数です) を評価して、あなた (電卓さん) が表示できる範囲のうちで、表示してほしいな、とか、思っていました. 
だめですか?

Id: #a20030602205110  (reply, thread)
Date: Mon Jun 02 20:51:10 2003
Name: i-ko
Subject: 電卓

今日、中3の選択数学発展コースの授業で偏差値の計算を教えてみました。受験にはやはり偏差値がついてまわりますから、高校受験を控えた子供達に偏差値の意味くらい教えてもいいかなと思ったからです。指導要領からは逸脱していましたが、発展コースで数学が好きな生徒が集まっているので、試みました。パソコンを使って、エクセルでの計算も考えたのですが、お粗末なことに学校のパソコンには、エクセルがインストールされていないので、電卓で平均、標準偏差を求め、偏差値を計算させることにしました。

私も久々に電卓を使って、そもそも、自分があまり電卓を使いこなしていないことに気がつきました。とはいえ、Mキーの使い方くらいは知っていたのですが、子供達はほとんどの生徒がその使い方を知りませんでした。教科書には電卓の使用が有効な問題として、電卓マークまであるのに、この電卓の使い方を教えているようにも思えません。またMキーを使わなくても、定数計算ができることにも驚きました。

それにしても「=キー」だけでなく、電卓の「キー」は、数学の記号や表記とは違うのですね。電卓を使って複雑な事をするには、普通の数学の計算の書き方にとらわれていると戸惑います。電卓を使えばいいのだから、複雑な計算練習は不要だということは絶対に言えないということを実感しました。数学の計算方法とともに、電卓の計算のしくみをわかっていないと、使いこなせません。

これだけ違うと逆に混同する事が少ないのではないかとも思いなおしました。ただ、パソコンがこのように普及してくると、電卓の複雑な使用方法もどのような意味があるのかわからなくなり、その存在価値も以前ほどではないのではと感じました。
Id: #a20030602195618  (reply, thread)
Date: Mon Jun 02 19:56:18 2003
In-Reply-To: a0083.html#a20030602164604
URL: river_r@d1.dion.ne.jp
Name: かわせりゅういち
Subject: よいこはしません
志村様
> 今でこそ電卓はどこでも見かけるものになっていますが、それがとても珍ら
> しい時代にも等号の意味を間違って理解している小中学生はたくさんいたと思 います。
右辺の数式!(算数です) を評価して、あなた (電卓さん) が表示できる範囲のうちで、
表示してほしいな、とか、思っていました. 私は少数派かもね.

電卓の表示を超える、結果を、電卓さんに与えてみると、なんと言うかな?
ほとんと、コンピューターゲームとかの話題ですので、よいこはやってはいけません.


Id: #a20030602164604  (reply, thread)
Date: Mon Jun 02 16:46:04 2003
In-Reply-To: a0083.html#a20030602095817
Name: 志村立矢
Subject: 電卓の影響というわけではないと思います。

今でこそ電卓はどこでも見かけるものになっていますが、それがとても珍 しい時代にも等号の意味を間違って理解している小中学生はたくさんいたと思 います。


Id: #a20030602125033  (reply, thread)
Date: Mon Jun 02 12:50:33 2003
In-Reply-To: a0083.html#a20030602095817
URL: river_r@d1.dion.ne.jp
Name: かわせりゅういち
Subject: Re: 電卓
かも ひろやす さま
> ところで、電卓の = キーを、たとえば、Ans キーにでも替えると、= の誤用> > を助長する問題は解消するでしょうか? 

たぶん無理だと思います.
「あなたはまちがっています」と教える、先生がひつようです.← ばか

それを自分で考え付くのには、5000 年とか 50000 年かかりました.
まがりなりにも、コンピュータを使ってみて、その後で、
比較の操作と、代入の操作、の区別がつきました.


Id: #a20030602095817  (reply, thread)
Date: Mon Jun 02 09:58:17 2003
In-Reply-To: a0083.html#a20030524222321
Name: かも ひろやす
Subject: 電卓

ところで、電卓の = キーを、たとえば、Ans キーにでも替えると、= の誤用を助長する問題は解消するでしょうか?
Id: #a20030531233318  (reply, thread)
Date: Sat May 31 23:33:18 2003
In-Reply-To: a0083.html#a20030531223952
URL: river_r@d1.dion.ne.jp
Name: かわせりゅういち
Subject: Re: Let, ()
かも ひろやす さま

おそれいりました.

もういちど、出直して考えます. ありがとうございました.

以上

Id: #a20030531223952  (reply, thread)
Date: Sat May 31 22:39:52 2003
In-Reply-To: a0083.html#a20030531151912
Name: かも ひろやす
Subject: Let, ()

かわせりゅういちさんの想像は外れています。プログラミング言語の歴史をふりかえるだけで、「代入操作と比較式を明確にする、その構文をどうしようか、という試行錯誤」なるものは存在しなかったことは明らかです。黎明期の三つのプログラミング言語 (FORTRAN, LISP, ALGOL) のいずれも、すでに、代入と相等判定に異なる表現を採用しています。1950年代の話です。BASICの出現はそれよりもはるかに後のことです。どちらが先かを考えただけで、かわせりゅういちさんの想像する試行錯誤が歴史上存在しなかったことは明らかです。

ダートマス時代のBASICは、処理系のフロントエンドで手抜きをするために、最初のトークンを見るだけで文の種類を判別できる構文規則にしたのでしょう。先頭が LET ならば、そこを見るだけで代入文とわかる仕組です。したがって、構文上、

LET 左辺値 = 式
の = は左辺値と式の区切りの意味しかなく、左辺値に出現しえないトークンだったら、なんでもよかったのです。
LET 左辺値 BE 式
にでもしとけばよかったのに。

それから、

if (a = b) 文
if ((a = b)) 文
は、Cの言語仕様上は、まったく同じことです。JIS X 3010-1993 (ISO/IEC 9899:1990 の翻訳) の 6.3.1 一次式 では、構文規則の項で次のようにと定めています。
一次式:
      識別子
      定数
      文字列リテラル
      ( 式 )
よっつめの構文に対応して、意味規則の項では、次にように定めています。
括弧で囲まれた式は、一次式とする。その型と値は、括弧を取り除いた式のそれらと同じとする。括弧を取り除いた式が左辺値、関数指示子又はボイド式である場合、それは、それぞれ左辺値、関数指示子又はボイド式とする。
つまり、上記ふたつは同じ意味だと、言語仕様書ではっきりと述べられています。

では、GCCが前者に警告を発して後者に発しないのは何かというと、スタイルに対する警告です。ひらたくいえば、単なるコンパイラのおせっかいです。GCCという処理系が勝手にやっていることで、C言語の知ったことではありません。(「処理系はスタイルに対して警告を発してはいけない」とは言語仕様のどこにも書いてありませんので、スタイルに対して警告を発することは仕様違反ではありません。念のため)

したがって、

なるほど、"C" 言語の () は数学で使う () とは違うのだ.
は、大外れです。C言語で式を囲む () は、数学で同じときに使う () とまったく同じものです。
Id: #a20030531173506  (reply, thread)
Date: Sat May 31 17:35:06 2003
In-Reply-To: a0083.html#a20030531151912
URL: river_r@d1.dion.ne.jp
Name: かわせりゅういち
Subject: Re: LET 文
自己 res です.

> (そういえば古典的な FORTRN では .eq. .ne. とかを使いましたよね.
FORTRN → FORTRAN の間違いでした.

以下は "C" の擁護.
  if (a = b) ...
とか書けます.
これを許さないとすると、
  if ( !islower(c) ) ...
とかが、が書けなくなります. 念のため申し添えます.

(islower(c) とは、int c がアルファベットの小文字のコードの集合に
属するか否かを調べる標準関数です.場合によってはマクロかもね.)

Id: #a20030531151912  (reply, thread)
Date: Sat May 31 15:19:12 2003
In-Reply-To: a0083.html#a20030531142939
URL: river_r@d1.dion.ne.jp
Name: かわせりゅういち
Subject: LET 文
やまがた様、粒子様、きくち様

> (当時の・・・大幅略) だから代入はLET文だ、というのはその通りでも、
> LETは使うな、というのが基本でした。
やまがた様のおっしゃられるのは一面の真理・対応策のような気がします.

どちらみち BASIC での表現を、素朴に「米語」に近い表現にしよう、という
目論見があったと理解せざるを得ません. その方向で、めちゃ多数のインター
プリター言語があったように記憶しています. (forth, focal とかちがうかな)

結局は:
(1) 代入操作と比較式を明確に区別する、コンピューター向き表現が発達?した.
   (Pascal, C) (退行したのかな?)
(2) インタープリターといえども、中間言語 (当時の言葉) に翻訳してから
  実行する形式に移行したので、「解釈プロセス」の実行所要時間にそれほど
  気を使う必要がなくなった.

数年前、前記 (1) のあたりの規則をよくわからないままに某社の表計算 BASIC 
を使って、首をひねったことがあります. 結局、その独特な表現法が気に入らず、
使わないことにしました.

問題は代入操作と比較式を明確にする、その構文をどうしようか、という試行錯誤
の一過程だったのではないかと考えます.

(そういえば古典的な FORTRN では .eq. .ne. とかを使いましたよね. 今でも
全面的にそうなのでしょうか?)

以下は補遺:
ちかごろの "C" コンパイラーは、
  if (a = b) ...
とか書くと、「あなたのそーさにはぎねんがあります」とか報告してくれます.
  if ((a = b)) ...
と直すと、理解・納得してくれたりします.

なるほど、"C" 言語の () は数学で使う () とは違うのだ.

Id: #a20030531142939  (reply, thread)
Date: Sat May 31 14:29:39 2003
In-Reply-To: a0083.html#a20030527122700
Name: やまがた
Subject: LET文
当時のTiny BASIC系のやつはインタープリタでしたので、LET を書くと
いうことは、毎回4文字よけいに読み込み・解釈プロセスが行われるという
ことで、特にIF-THENでループを作ってその中に代入文があるときには、LETを
使うというのは8ビットのコンピュータにおいては許し難いほどの実行
速度の差を生じました。

(同じ理由で、変数は(仕様で許されていても)なるべく1文字、
IFに対応するEND文は排除、でございました。)

だから代入はLET文だ、というのはその通りでも、LETは使うな、というのが
基本でした。無精で書かなかった面もありますが、当時はもっと積極的に
使うべきではない、と考えておりました。


Id: #a20030530101228  (reply, thread)
Date: Fri May 30 10:12:28 2003
Name: 粒子
Subject: LET文
1980年代のBASICでは、LETを使っていたひともいました。
私は、LETを書かなかったと思います。
コモドールとかいうパソコンでは、必ずLETを書く人が多かった
ような気がします。
だいぶ昔の話なのですが。

Id: #a20030529150301  (reply, thread)
Date: Thu May 29 15:03:01 2003
In-Reply-To: a0083.html#a20030529114244
Name: きくち
Subject: BASIC
私が念頭に置いていたのは、変数名として英文字1文字しか許されなかったころ
のBASICなので、そのJIS規格はちょっと高度すぎるように思います。

んでも、たしかに図書館には大昔のBASICの解説書があるかもしれませんね。

Id: #a20030529114244  (reply, thread)
Date: Thu May 29 11:42:44 2003
In-Reply-To: a0083.html#a20030527122700
Name: かも ひろやす
Subject: BASIC

風邪をひいて二日間寝こんでいたために、時期を逸した反応ですみません。

BASICの言語仕様でしたら、WWW検索するよりも図書館でJIS規格票にあたるのがよろしかったのではないかと。JIS X 3003:1993 です。


Id: #a20030528195659  (reply, thread)
Date: Wed May 28 19:56:59 2003
In-Reply-To: a0083.html#a20030528113910
Name: drake
Subject: Re: そんな所へ行ってはいけません

Oh!....とりあえずご紹介のページにブックマークを付けて、ざざざっと眺めて、今帰ってきたところです。
『ゲーデル・エッシャー・バッハ』の原著 "Godel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid"(当時12.99ポンド)がペンギンから出て直ぐ、丸善に注文してとんでもないレートでふんだくられて読んだことを思い出しました。
情報ありがとうございました。

Id: #a20030528113910  (reply, thread)
Date: Wed May 28 11:39:10 2003
In-Reply-To: a0083.html#a20030527194745
Name: 志村立矢
Subject: そんな所へ行ってはいけません

http://matsuda.c.u-tokyo.ac.jp/~ctakasi/kougi.html の下にあるものの うち、ヒルベルト、ゲーデル、不完全性定理に関する内容の信頼性 はゼロに近かったり、負の方向に大きかったりするものばかりです。

これらの話題に興味のある方は、ゲーデルと 数学基礎論の歴史 -不完全性定理-のページをぜひお読みください。


Id: #a20030527210329  (reply, thread)
Date: Tue May 27 21:03:29 2003
In-Reply-To: a0083.html#a20030527173955
Name: くろき げん
Subject: 杉山さん、その話題は他の場所でやってください

杉山さん、その話題は他の場所でやってください。邪魔です。

今ここでどういう感じで会話が進んでいるかを完全に無視するとはどういうつもりですか?

忙しいのでこの件については反論を一切受け付けません。反論をこの掲示板に書き込まないで下さい。個人宛のメールも断ります。どうしても反論したいならば反論を書き込んだ場所の URL だけを書き込んでここから立ち去って下さい。


Id: #a20030527194745  (reply, thread)
Date: Tue May 27 19:47:45 2003
Name: drake
Subject: ブルーバックス:現代数学小事典

現代数学小事典(BB)と かも ひろやす さんのコメントを合わせ読むのが面白そう。
Google で "現代数学小事典" でサーチしていたら、こんな所へきてしまって、
[そこから引用]
数学の王者といわれたガウスもまた、少年の頃から平行線の公準を証明しようと試みていた。しかし、予期に反して、平行線が2本引けると仮定しても少しも矛盾の起こらない非ユークリッド幾何(ガウスの命名)が存在することをついに発見した。
これも、New-rule maker は Old-rule breaker(但し逆は必ずしも真ならず)の例かな、と感心。
『現代数学小事典』について話題提供してくださった皆さんに感謝。

Id: #a20030527173955  (reply, thread)
Date: Tue May 27 17:39:55 2003
Name: 杉山真大
Subject: 匿名の野次や誹謗中傷は放置して、異論を「口封じ」して済むのですか?

杉山真大と申します。一応、大学院生でインターネットには比較的初期から慣れ親し
んでいます。

さて、本題に入ります。数日前に(自分が良く覗いたり書き込んだりする掲示板の一
つである)『Bus Stop Ibaraki掲示板』で書き込んだところ、誹謗中傷の匿名による
書き込みが立て続けに投稿されました。中には本来の議論と関係ある批判や反論もあ
ったので相応に対処しましたが、誹謗中傷については(当面は)無視することとしま
した。

ところが、誹謗中傷の投稿は止むばかりか管理人が尻馬に乗る始末。挙句の果てには
(自分が抗弁できないことを良いことに)有無を言わさず「出入り禁止」に。しかも
自分に送りつけてきたメールをワザワザ自分の掲示板に張り出しているのです。散々
匿名での誹謗中傷を放置しておいて、止めに晒し者にするとはゴリッパな管理

姿勢ですね。

と言う訳で、自分がその管理人氏に送付したメールの写しを以下に全文掲示します。
本来なら、『Bus Stop Ibaraki掲示板』に書き込むべきところですが、有無を言わさ
ず削除するとのことですので、此処の掲示板に投稿することとし、掲示板の読者諸氏
の判断を仰ぎたく宜しくお願い致します。殊に、此処の管理人の黒木氏はインターネ
ット掲示板の匿名/実名問題には詳しく、氏の「ウェブサイト運営のヒント」には自
分も色々と参考にさせて頂いております。匿名の誹謗中傷についての対処はどうある
べきなのかについては黒木氏の意見も伺いたいところですし、出来ることであれば、
『Bus Stop Ibaraki掲示板』の方に登場して頂きたいのです。是非是非宜しくお願い
致します。 m(__)mm(__)m

#ちなみに元のメールはテキスト形式でリンク等は入っていません。今回掲載時に改
#めて挿入したものです

(ここから)
メールは読みました。
それにしても先にメールを出したと掲示板上で断っておいて届いているのを待ってい
る間に「出入り禁止」とは随分な話ですね。誤解を避けるために最初に断っておくと
自分としては今回の一連の騒動で管理人のお手を煩わせたことについては申し訳なく
思って「いました」。
しかし有無を言わさず、匿名の野次や誹謗中傷は放置して実名の議論は一方的に「口
封じ」すると言うのは絶対に承服できかねます。掲示板の運営方針としてはどう見て
も間違っているとしか思えません。

一応、各論についてフォローします。

>●匿名・実名にこだわらない
> 当BBSでは投稿者の名前如何よりも投稿の内容を重視しています。匿名でも有
> 用な書き込みをしてくれる方もいれば、本名を出してまで無用な揉め事を起こす
> 「厨房」もいます(2ちゃんねるがその良い例ですが)。

共同管理人として経験しているからこそ言っているのです。

『首都機能移転の掲示板』で自分は共同管理人を引き受けていますが、投稿者が身分
を隠したり成りすまし投稿をしたりして一時議論が荒れたりしたことがあったのです
(この点は『首都機能移転の掲示板』にしばしば投稿されている大貫剛氏に聞いてみ
れば詳細が分かるでしょう)。しかも、これらの投稿は往々にして内容が無い下手し
たら誹謗中傷と変わりが無い書き込みでした。こうした経験をしている身の上として
は「実名に必然性なし」と言う主張は鵜呑みに出来ません。匿名と言う安全圏にいる
ことを好いことに幾らでも書き散らせるのと、身元を明かしてリスクを負いながら書
き込むのとでは意見を書き込む際の「重み」が違ってくるのは明白ではないでしょう
か?

リスク云々と言う話が出た序でに言いますが、

>当BBSでは、あなたは「一度BBSを潰した危険人物」として認識されています。

事実、前回の閉鎖直後では他の掲示板からも自分が敬遠されたりもしました。それな
りにリスクは負っているんですよ。しかし、(前回の閉鎖問題での)もう一方の当事
者の「あぼ〜ん」氏は何ら実害を被っていません。当たり前です。匿名なのですから。
それこそ自分が投稿を禁じられていた時期でさえも、「あぼ〜ん」氏は大手を振って
(名義を変えて)貴方の掲示板や他の掲示板に好き勝手に書き込んでいたでしょう。
この様にトラブルが起こった際に、匿名と実名とでは負うべきリスクが天と地ほど差
があるのです。と言うことは、掲示板を荒らしたりトラブルを故意に起こす場合には
匿名で書き込んでしまおうと言うことになる訳です。結果、匿名投稿には内容的には
意味が無いばかりか誹謗中傷の類が(実名投稿よりも)多くなると言う帰結が導ける
のです。
今回の件にしてもそうです。自分に対し誹謗中傷の投稿を繰りかえしている側が、身
分もメールアドレスも一切明かしていないことから、同一投稿者の成りすまし(ひょ
っとしたら「あぼ〜ん」氏の自作自演)を疑ったくらいです。プロキシを幾重にも経
由したりしてIPアドレスを偽装するなんてことは少しでも知識があれば出来るご時
世、匿名でも内容が良ければ可、と言う「内容至上主義」は現実的には例外としてし
か当てはまらないと言うことは承知した方が宜しいと思います。
#TCUPなら管理者権限で匿名ホストからの投稿を禁止できるようになっています。取
#り敢えずは匿名プロクシ投稿を禁じておくべきではなかったかと

あと、2chの例を持ち出すのは比較としても例示としても不適切です。まず2ch
の場合、実名投稿は殆どありませんし、何より「厨房」の圧倒的多数は匿名投稿なの
です。その事実を摩り替えて「内容至上主義」を擁護するのは頂けません。
#ちなみに自分は2chはよく見ていますよ。念のため

> 耳の痛いことを言われても匿名だから無視する、というのは「保身のための言い
> 訳」にしかなりません。また、そんな小さなことにこだわっていては、とてもネ
> ットの世界ではやっていけません。どこぞのBBSの「共同管理人」を務めるあ
> なたなら、これくらいはわかっているはずです。

事実誤認や議論と関係する疑問点や反論については答えています。他のネチケットに
関する点についても(今回の件がクールダウンしたところを見計らって)掲示板で意
見表明するつもりでした。掲示板の雰囲気を壊さないためにもその方がベターではな
いかと考えたのです。
何しろ肝心の「我々」が正体不明であっては責任の所在がハッキリしないし、相手側
の意見を取り入れても納得しない・何処をどう変えれば納得するのかハッキリしない
・一方的に非難だけはする・これでは自分としても対応しようがないのですよ。幾ら
反省文を書いてみたところで「聞く耳を持たない」と(それが自作自演であれ成りす
ましであれ)沢山の非難が来れば、結局は「出入り禁止」しか解決の途無しと言うこ
とになるのは目に見えています。明らかに責任関係が明確な中での釈明でないと一方
的な「口封じ」にしかならない恐れがある以上、黒岩雅彦氏の言う「不適切な発言に
注目しない」
と言う形でしか対応できないのですよ。それで「保身のための言い訳」
と言うなら黙って誹謗中傷の集中砲火を受ければ良かったとでも言うのですか?野次
を放置して根拠のある議論に「口封じ」するとは、これまたゴリッパな管理姿勢です
ね。(爆

>●長い引用は避ける
> 投稿のタイトルに「Re:」とあれば、その元となる投稿を読めば足りることです。
> 長い引用は、それを読む者やサーバーへの負担にしかなりません。通信速度の遅
> い環境で当BBSを見ている方もいます。タグと同様、引用は最小限にとどめま
> しょう。

別段行数稼ぎを狙っている訳ではなくて、新しい投稿で元記事が読めなくなった場合、
不便を感じない様に関係ある引用のみを同じ投稿に収めているのです。「投稿のタイ
トルに『Re:』とあれば、その元となる投稿を読めば足りる」と言うのも、スレッド
式の掲示板でなければ(直近の投稿に対するフォローでない限り)元の投稿を追うこ
とは難しいし、過去の投稿に対するフォローなら、それを追うだけでも一苦労になり
ます。不必要に長くしているのではないと思っていたのですが、その点については今
後改めることにします(とは言え追放されては改めようがありませんけど)。

>●無用なリンクは張らない
> 参考資料を提示したいのはわかりますが、バスの話題を扱う掲示板で唐突に県や
> 工業団地へのリンクを張られても、まず誰も見に行きません。リンクを張るよ
> り、リンク先で得た情報をちょこっと書き込むだけで十分でしょう。こちらの過
> 去ログ集では、そういったリンクはすべて外してあります。

前にも述べた様に匿名の投稿と関係あります。論拠を挙げろとか粘着する「厨房」に
対して根拠となるリンク先は示しておかないとデタラメだ何だと非難される恐れがあ
るからです。「リンク先で得た情報をちょこっと書き込むだけで十分」とは思えない
人間が少なからずいるからこそ、ですよ。

>●人の意見を頭ごなしに否定しない、自分の意見を押しつけない
> これはネチケット以前の問題です。あなたがよく出入りしている政治系のBBS
> なら、そういう攻撃的な論調でも構わないのかもしれませんが、当BBSはあく
> まで「雑談の場」です。仮にも大学院生なら、もう少し柔らかな表現もできるは
> ずです。投稿の前にまず「場の雰囲気」を読むことをお勧めします。

バスに関する情報や意見を交換する場である以上、時として意見の相違や対立が出て
くるのは仕方の無いことではないでしょうか?それを反論すべき点に反論しただけで、
協調性が無いだの押し付けがましいだの言われれば議論が成り立ちません。そう言う
「協調性」こそが押し付けでしょう。
それに議論の本質に関係する点についてはチャンと答えていますし、誤りについても
チャンと認めています。ところが、彼らの書き込みは何ですか?具体的な論点や本来
の議論とは無関係に(「無職の杉山さん」とか)憶測を並べ立てて(「大学院生だか
らエラい訳ではない」などと)揚げ足取りに終始しているだけでしょう。挙句の果て
には(匿名で誹謗中傷していた側が)引き合いに出した意見を自分の方で引用しても
猶「聞く耳を持たない」と非難する始末。「頭ごなしに否定」するとか「場の雰囲気」
をぶち壊しているのはこう言うことを指すんじゃないでしょうか?

以上、言うべき点については申し上げておきました。
一度も自分に抗弁の機会も与えず、匿名で身元不明の誹謗中傷や野次を一方的に擁護
し頭ごなしに「口封じ」に走る。それが貴方の管理運営方針ですか?今回の追放処分
について、散々掲示板を荒らしまわった方々はバンザイを叫んでいることでしょうな。
ま、それも一つの「方針」には違いないのでしょう。しかし敢えて忠告しますけど、
今回の一件に味を締めて匿名の荒らしが今以上に横行しても、それは貴方が招いた結
果であって誰のせいでもありません、と言うことは言っておきます。何故なら貴方の
掲示板なら幾ら誹謗中傷をやっても(貴方が「内容が良い」と判断すれば)幾らでも
書き込めると言うことなのですから。
貴方の掲示板の「平和」を祈りつつ、まずはこれにて。

(ここまで)


Id: #a20030527125406  (reply, thread)
Date: Tue May 27 12:54:06 2003
In-Reply-To: a0082.html#a20030522183106
Name:
Subject: 最初は納得したけれど・・

>実数の計算可能性理論を構築するにあたって、実数の表現として普通の十進小数展開を使うと、0.9999… = 1 がやっかいをおこします。
>この問題は簡単なトリックで解決できます。十進小数展開で使える数字に負の数を加え、-9 から 9 までにしてしまうのです。

これは結局、「普通の十進小数展開」は使えないという事ではないですか?
同様に、「普通の二進小数展開」も使えないでしょうから、小数展開で使えるのは各桁に正負の数を使う方式だけでは?
と思ったら、-1〜1を使う三進小数展開でも(-1をJとして) 1/1J = 0.1111〜 = 1.JJJJ〜 がやっかいを起こすのは同じ。
どうやら正負に関係なく、余裕を持った小数展開が必要なようですね。
(正負の数による奇数進展開を仕事のプログラムで使った事があるので、同じか?と思ったら違った)
Id: #a20030527123531  (reply, thread)
Date: Tue May 27 12:35:31 2003
In-Reply-To: a0083.html#a20030527122700
Name: ゆん
昔使っていたMSX-BASICの代入文は、

LET A = 1

という形式が正式な文法でした。
ただし、省略記法として

A = 1

が使えると言う事になってました。
もちろん、わざわざLET文を真面目に書く人はいませんでしたが。

Id: #a20030527122700  (reply, thread)
Date: Tue May 27 12:27:00 2003
Name: きくち
Subject: 代入と相等判定
代入と相等判定の違いについては、例の
 x = x+1;
という式を題材にして「大学4年生」の数値計算の授業で教えています。
彼らがそれ以前にその違いを習っているのかどうかは謎。
もしかしたら、大学4年までその違いに気づかない学生も多いかも。

ところで、昔のBASICって、代入には別の命令を使いませんでしたっけ? LETだったかな。
おぼろげな記憶しかなく、WEBで検索しようにもVisual BASICだとかそんなん
ばかりが膨大にひっかかって、すぐには見つからないのですが。

Id: #a20030527001524  (reply, thread)
Date: Tue May 27 00:15:24 2003
Name: よしだ
Subject: Re:『現代数学小事典』
> 現代数学小事典

「グロタンディクの数学」という節がもうけてあって,この部分がきわだっています.

山下純一さんの執筆でしょうか!?

Id: #a20030526194847  (reply, thread)
Date: Mon May 26 19:48:47 2003
In-Reply-To: a0083.html#a20030525125359
Name: かも ひろやす
Subject: 『現代数学小事典』

「辞典」ではなく「事典」ですね。

この本の第一章「数学基礎論」はいわゆる「パラドックス史観」に基づく解説になっているため、古臭いのでお勧めできません。

「パラドックス史観」とは、数理論理学の歴史をパラドックスとの戦いとして語るもののことです。嘘だは言いませんが、一面的すぎる見方です。この本もそうですが、「パラドックス史観」一辺倒の解説の困ったところの一つは、ゲーデルの不完全性定理をヒルベルトプログラムを否定したものとしてのみ評価し、否定的な結果とみなすことです。そんなことはありません。不完全性定理は数理論理学の基本定理の一つです。基本定理というのは、それを出発点にして豊かな結果が得られるから基本定理なのです。実際、不完全性定理を利用して、さまざまな定理が証明されています。

たとえば、この本でも紹介されている、ゲンツェンの発見した

PA+ε0帰納法 ├ Con(PA)
があります。これと第二不完全性定理から、PAが無矛盾ならPAでε0帰納法が証明できないことがただちに導かれます。PAとPA+ε0帰納法の違いを明確にする肯定的な結果です。ところが、「パラドックス史観」では、そういったテクニカルな議論が無視され、PAより強い体系でPAの無矛盾性を証明することの意義のやや哲学的な議論に終始してしまいます。この本も例外ではありません。

では、テクニカルな部分のみ拾って読めばだいじょうぶかというと、帰納的関数論のところは、テクニカルにもあやしいです。 「Well-defined」と題された節で3ページ弱も使って説明していますが、そこで「well-defined」と呼んでいるものは、実は、「effectively defined」のことです。well-defined だが effectively defined でないものが存在するというのが計算可能性を考える出発点のようなものだから、それを混同してしまうというのは、けっこう大きな瑕疵じゃないかな。

集合や帰納的関数について知りたい方には、もっとテクニカルでドライな入門書をお勧めします。数学の歴史や哲学に興味のある方には、その専門の文献にあたることをお勧めします。この本が書かれた当時の数学史観の資料として必要な方以外には、この本の第一章はお勧めできません。


Id: #a20030526184702  (reply, thread)
Date: Mon May 26 18:47:02 2003
Name: くろき げん
Subject: [地震] 仙台もひどくゆれた!

ついさっきガガガガガガと滅茶苦茶ゆれました。でも無事です。

まだ細かく繰り返し搖れ続けている。


Id: #a20030526170249  (reply, thread)
Date: Mon May 26 17:02:49 2003
In-Reply-To: a0083.html#a20030524222321
Name: かも ひろやす
Subject: BASIC

代入と相等判定に同じ記号を使う例外的な言語は、BASIC です。BASICが誕生したときからそうなっているのであって、Visual Basic に限ったことではありません。したがって、マイクロソフト社の技術者が決めたことでもありません。
Id: #a20030525231252  (reply, thread)
Date: Sun May 25 23:12:52 2003
URL: http://plaza27.mbn.or.jp/~aozora_gakuen/
Name: 南海
Subject: 『曲線と曲面の微分幾何』読者会メーリングリスト案内
『曲線と曲面の微分幾何』(小林昭七著)の読者会を,WEB上でメーリングリストを活用して,6月から始めます.
これまでに『解析概論』『群の発見』を読みきりました.その参加者のなかで希望の多かった『曲線と曲面の微分幾何』を,徹底的に読もうという企画です.
意慾的な高校生,大学初年級の学生,社会人,高校や塾などの数学教師,等々が助け合って,いろいろ議論し,例図を作りながら読んでいこうではありませんか.

詳しくは青空学園数学科まで.上記URLから登録できます.

メール:aozora@ba.mbn.or.jp

Id: #a20030525130051  (reply, thread)
Date: Sun May 25 13:00:51 2003
In-Reply-To: a0083.html#a20030525115100
Name: drake
Subject: 再び告白の補足

自分で勝手なルールを作る子供の中にはひょっとしたら極めて稀に天才がいるかも知れない、という気が何となくしています。(私がそうでないことは既に証明されていますが)

Id: #a20030525125359  (reply, thread)
Date: Sun May 25 12:53:59 2003
In-Reply-To: a0083.html#a20030525115100
Name: かわせりゅういち
i-ko さま drake さま
講談社とかのブルーバックスにもある、「現代数学小辞典」などは、いやに
なるほどお読みになったらいかがでしょうか.第一章「数学基礎論」なんかは
すごいですよ.
ISBN4-06-117925-X C0241 のことでした.

Id: #a20030525115100  (reply, thread)
Date: Sun May 25 11:51:00 2003
In-Reply-To: a0083.html#a20030525104313
Name: drake
Subject: 再び告白

始めに言っときます。数学は得意科目でした。

10+5=15+3=18−10=8×2=16 ですが。

10+5=15 15+3=18
と、15を繰り返して書くのが面倒だから省いたわけです。
つまり、自分で勝手に省略ルールを作った一種の確信犯でした。 当時(1950-1960年代)の教師は結構いい加減で注意もされませんでした(私の母校だけだったかもしれませんが)。

で、いつ頃直したかと言うと、高校受験の前には、ローカル・ルールと言うよりプライベート・ルールでは点はもらえないという当たり前のことを判断する分別(と言うより受かりたいという願望)が身に付いていましたので、正しい国際ルールに準拠することにしたわけです。

私のような生徒には「それでは受験に合格せんぞ」の一言で直ると思いますが、想像ですが、私とは別の理由でそんな書き方をする生徒もいるかもしれません。その場合には、別の指導が必要でしょう。

いろんな生徒を指導する先生は大変だなあと思います。


Id: #a20030525104313  (reply, thread)
Date: Sun May 25 10:43:13 2003
In-Reply-To: a0083.html#a20030525054302
Name: i-ko
Subject: ある算数教育のレポートを読んで

教育学部では等号のつけ方についてうるさく指導しないと耳にしたのですが、半信半疑でした。ところが、ある教育学部の算数の研究授業のレポートですごいのを見つけてしまいました。出典は以下です。
http://www.juen.ac.jp/g_katei/nunokawa/kaita/JJME17.pdf
「算数の授業における一人の児童の活動とその能動性」
というレポートです。
ここでは「23人の生徒が一人12個おり鶴を折るといくつできるか」と言う掛け算の学習(小学校3年)をしています。
驚いたのは、図1の授業最後における黒板の様子というものです。
真中にどーんと以下のようにあります。
 23×12
=23×2
=46
=23×10
=230
=230+46
=276
これは生徒が書いたものらしく、「実際には等号のつけ方が授業中に修正されたが、子供の考えを伝える意味で図1ではそのままにしている。」との注はあります。

とはいえ、このレポートを読むと、等号のつけかたなどはたいしたことはないという取り扱いに読めます。板書は重要だと思います。生徒がいつ黒板にこの間違いの式を書いたのははっきりとはわかりませんが、教師が板書の等号を直したのは、授業が始まって37分55秒とこのレポートではなっていますので、このままの状態でかなりの時間、その板書が生徒たちの目に入っていたと思います。また、板書の等号の訂正の扱いは軽いです。ただ「教師が生徒の板書で等号を直す」とあるだけです。

一人一人がどのように授業に参加していること研究する事は大事であっても、数学の基本である等号の扱いなどはどうでもいいことと読めてしまったのですが、私がひねくれて読んでいるからでしょうか?

drakeさんのように、間違った等号の使い方をしていても、自分で気がついて直せるのだから、しつこく言う必要はないのでしょうか?経験者のdrakeさんはいつごろどのようなきっかけで間違った使い方に気がつかれたのでしょうか?
Id: #a20030525104046  (reply, thread)
Date: Sun May 25 10:40:46 2003
In-Reply-To: a0083.html#a20030524222321
Name: drake
Subject: ちゃちゃ:VB

VB の自由さ(いい加減さ)は便利でもありバグの元でもあります。
Dim i As Integer
Dim b As Boolean
b = i = 0
これでも正しいコードでちゃんと b = True になる。
最初の = は代入、次のは比較で、比較のほうが先に実行される。
Microsoft にも昔の私のようなのがいるのかな?

Id: #a20030525054302  (reply, thread)
Date: Sun May 25 05:43:02 2003
In-Reply-To: a0083.html#a20030524230228
Name: かわせりゅういち
Subject: = ≒ 等号
i-ko さん
> 10+5=15+3=18−10=8×2=16

志村さん
> i-ko さんの挙げたような例が過去にもあったかどうかは、小中学校の教師を
> ある程度の期間している人でないとわからないでしょうね。

> 例はありましたよ。私、小中学校の教師ではなく生徒をしていた頃やってま> した。
> 今は等号も代入記号も正しく使ってます。
> 告白かたがた報告まで。(^_^;)

すごいです.
> 10+5=15+3=18−10=8×2=16

よみとくのに、しばし、じかんががひつようでした.

Id: #a20030524230228  (reply, thread)
Date: Sat May 24 23:02:28 2003
In-Reply-To: a0083.html#a20030524221738
Name: drake
Subject: = ≒ 等号

i-ko さん
> 10+5=15+3=18−10=8×2=16

志村さん
> i-ko さんの挙げたような例が過去にもあったかどうかは、小中学校の教師を
> ある程度の期間している人でないとわからないでしょうね。

例はありましたよ。私、小中学校の教師ではなく生徒をしていた頃やってました。
今は等号も代入記号も正しく使ってます。
告白かたがた報告まで。(^_^;)


Id: #a20030524222321  (reply, thread)
Date: Sat May 24 22:23:21 2003
In-Reply-To: a0083.html#a20030524211336
Name: i-ko
Subject: 代入と相等判定

かもさん。お返事ありがとうございます。

少し誤解を招いてしまったようですが、私が等号の氾濫で心配しているのは、電卓の=マークです。プログラミングの中の等号記号については、数学の=とは別物だと理解できている人が多いと思っています。

>一つの例外を除き、すべてのプログラミング言語では、代入と相等判定に異なる記号を使います。

一つの例外とはVBですか?異なる記号を使う方が普通なのは、プログラミングをする立場からそのほうがわかりやすいということなのでしょうか?かもさんとしては異なる記号を使うほうを推奨なさいますか?私は数学とまったく離れて考えれば、プログラミングの中の等号記号は混同していても判断できるのではと考えた事があるので、気になりました。
Id: #a20030524221738  (reply, thread)
Date: Sat May 24 22:17:38 2003
In-Reply-To: a0083.html#a20030524205509
Name: 志村立矢
Subject: 等号の誤った用法

等号が、何かの操作を行なうことを表す記号だと思っている生徒は結構多いの
ではないでしょうか。値の評価 (evaluation) とか実行 (excution)という雰
囲気で、電卓の = キーそのままですね。


たとえば中学生の頃のことを思い出すと、一次方程式を解く際に次のような式
を書いていた生徒は何人かいたはずです。授業中に教師がわざわざ黒板に書い
て間違いを指摘していたのを覚えています。

  10x + 7  = 6x - 5
= 10x - 6x = -5 - 7
= 4x = -12
= x = -3

大学生になっても、行列の基本変形を行なう際に、矢印ではなく等号を書く学
生が必ずいます。

[ 1  2  0  3 ]	 [ 1  2  0  3 ]   [ 1  2  0  3 ]   [ 1  2  0  3 ]
[ 2  9  2  4 ] = [ 0  5  2 -2 ] = [ 0  1 -2 -4 ] = [ 0  1 -2 -4 ]
[ 1  3 -2 -1 ]   [ 0  1 -2 -4 ]   [ 0  5  2 -2 ]   [ 0  0 12 18 ]

この誤りは、学生が基本変形の操作を覚えるのにあっぷあっぷで、基本変形の
意味を理解していないことを判定するための材料になるので結構便利なのです
が。

i-ko さんの挙げたような例が過去にもあったかどうかは、小中学校の教師を
ある程度の期間している人でないとわからないでしょうね。


Id: #a20030524212407  (reply, thread)
Date: Sat May 24 21:24:07 2003
In-Reply-To: a0083.html#a20030524205442
Name: かも ひろやす
Subject: 困ったものだ

粒子さん、自分がちゃんと理解していることについて説明の技法を語るなら話題が拡がりますが、そうではないでしょ。自分が理解していないことについて説明の技法の議論にかこつけて説明を求めるのは、みっともないだけですよ。
Id: #a20030524211336  (reply, thread)
Date: Sat May 24 21:13:36 2003
In-Reply-To: a0083.html#a20030524205509
Name: かも ひろやす
Subject: Re: 等号

一つの例外を除き、すべてのプログラミング言語では、代入と相等判定に異なる記号を使います。たとえ、代入に = を使っている言語でも、それとは別に相等判定を表わす表現を用意しています。たとえば、C言語など BCPL の子孫たちは代入に = を使っていますが、 相等判定 == が別にあります。だから、ちゃんとプログラミングを学べば、代入と相等判定の区別にかえって敏感になるはずです。

中途半端にかじった人への悪影響はわかりますが、生兵法が怪我の元なのは、どの分野でも同じでしょう。

ちなみに、プログラミング教師としては、代入と定義の区別ができていない人のほうが気になります。


Id: #a20030524210847  (reply, thread)
Date: Sat May 24 21:08:47 2003
In-Reply-To: a0083.html#a20030524122932
Name: 顕正居士
Subject: 1つ右隣
かもさん。たざきさん。くろきさん。

みなさんそろっておっしゃる以上、わたしの書いたことがらに間違いや混乱がありそう
と想像されます。

ならべるとは番号を付けることである、したがって番号を付けられないものはならべ
られない、ならべられないものは大小の順にならべられない、ゆえにそういうものには
どういう1つ右隣もいえない、と考えたのですが、おそらく、「ならべるとは番号を付ける
ことである」が正しくないのでしょう。

>具体的な例もあげていらっしゃるのだから

順序数が非可算な集合によって定義されることはわかりますが、それらの個数は
可算無限であると想像していたので、「反例」の意図が理解できなかったのです。

>集合論の本をひもといて順序数などについてお読みになるのがよいのではないでしょうか?

順序数や整列集合について読んでみます。

Id: #a20030524205509  (reply, thread)
Date: Sat May 24 20:55:09 2003
In-Reply-To: a0083.html#a20030524185019
Name: i-ko
Subject: 等号

>中学校で習った数学は世界中あらゆる場所でも通用する。もちろん専門家相手にも通用する。しかもその知識が古くなって「以前は正しかったが現在は正しくない」なんてことにはならない。

最近、中学生でも等式の意味がわかっていない生徒がかなりいます。そのため方程式で苦労している生徒が多いです。よくみていると、小学校レベルからの混乱があるということに気がつきました。
例えば
10+5=15+3=18−10=8×2=16
などとずっと等号を書き並べている生徒が目に付くようになったのです。昔はいなかったかと言われれば、それはわかりませんが…。うわさでは小学校では上記のような例に対して、きちんと指導しなくなったという話も聞きました。これが私にはずっと不思議だったのですが、ある友人は上記の例は電卓での計算の方法だから不思議ではないと指摘しました。

考えてみるとプログラミングの中の等号記号も数学としての等号の意味よりも代入の意味で使われています。

これってとても算数数学教育の危機を感じてしまうのですが、私は考え過ぎでしょうか?「=」マークが氾濫して、教科書にも電卓マークがついていて、電卓での計算も推奨する時代になってきました。小学校の先生が「=」の意味をきちんと理解していないのではないか?そんなふうにも疑っています。長方形の面積を縦×横だからといって、横×縦にすると間違いにしてしまう先生もいるという話もあるくらいですから、もしかしたら想像以上に「=」の意味をきちんと把握していない先生が多いかもしれない、なんて思ってしまいました。

数学の「=」は大切な記号です。じわじわと間違った使われ方をしつつある別の記号の「=」なんとかならないものでしょうか?等号が「以前は正しかったが、今は正しくない」なんてことになったらなんて笑い話にもなりません。
Id: #a20030524205442  (reply, thread)
Date: Sat May 24 20:54:42 2003
Name: 粒子
Subject: 収束あるいは限りなく近づく
初等レベルの質問です。
収束あるいは限りなく近づくということをどう説明したらよいでしょうか。
例えば、すでに顰蹙をかった1=0・99999・・・の説明でもかまい
ません。

Id: #a20030524191523  (reply, thread)
Date: Sat May 24 19:15:23 2003
Name: かも ひろやす
Subject: ZF

脈絡なく思いだしたのですが、ZF集合論が ZF と呼ばれるようになった経緯について書かれた文献は何かないでしょうか。Zermelo の公理系に Fraenkel が置換公理を追加し、von Neumann が基礎の公理を追加した経緯からは、ZFvN とでも呼ぶほうがふさわしいような気が、ずっとしているのですが。

それに、現在、ZFと呼ばれているものが ZFvN と呼ばれていれば、基礎の公理抜きのもの(現在、ZF-FA とか ZF- と呼ばれているもの)のほうに ZF を割当てることができて、便利だったのですが。


Id: #a20030524185019  (reply, thread)
Date: Sat May 24 18:50:19 2003
In-Reply-To: a0083.html#a20030524174850
Name: くろき げん
Subject: 1 = 0.9999… は実数に関して厳密に成立している等式である

粒子さんは様々なことについて誤解なさっています。すでにかなり顰蹙を買っているようなので自分自身の態度と知識に問題があったと考えることができるようになるまで書き込みをお控えになった方が良いのではないでしょうか?

まず、私は中学生を対象にすること自体に問題があると述べたのではありません。粒子さん個人の態度に問題があると述べたのです。

次に、数学の等式が成立するか否かに関しては中学生であっても専門家であっても答は同じです。もしも中学生にとっては正しいが専門家にとっては正しくない等式があったとすれば、それはもはや数学の話ではないのです。

中学校で習った数学は世界中あらゆる場所でも通用する。もちろん専門家相手にも通用する。しかもその知識が古くなって「以前は正しかったが現在は正しくない」なんてことにはならない。これらの事実がどんなに素晴しいことであるかをみんな強調してくれると私は非常に嬉しい。

中学生だとか専門家などの立場の違いを超えて 1 = 0.9999… は実数に関して厳密に成立している等式です。両辺は何の誤差もなくピッタリ等しい。この等式は世界中で通用し、もちろん専門家相手でも通用し、この等式成立するという知識は古くなったりしない。

あとなにやら「無限小」という言葉を持ち出して来たようですが、様々な立場からの様々な意味での無限小の取り扱いを理解するためには、まず 1 = 0.9999… が実数に関して厳密に成立している等式であることを理解できるだけの能力が必要です。基本的なことから順番に理解して行くことが肝腎です。

ここは言い訳もせずに黙って出直す方が良いでしょう。おそらく言い訳を書くとその言い訳のせいでさらに顰蹙を買うことになる。


Id: #a20030524174850  (reply, thread)
Date: Sat May 24 17:48:50 2003
Name: 粒子
Subject: 0の次の数
すでに書かれていますが1.0−0.99999・・・を小数でどう現すか
という問題があります。
これは、わたしの最初の発言0.1、0.01と限りなく0に近づけたらど
うなるか。0の一つ隣の実数(私の頃は中3で実数という言葉を使っていた
と思います。)はなにかというのと似たような問題になると思います。0と
答えるとおっしゃていますが、専門の方は無限小の問題になるとおっしゃっ
ています。中学生相手にどう説明するか?私なりに考えてみましたが、一般
に義務教育レベルなら0で問題ないのではないかと思います。数学の専門家
ではないわけですから。
そうすると中学生は0の次も0ですか?と尋ねられるかもしれません。
これに対してどう答えたらよいのかわかりません。

Id: #a20030524165301  (reply, thread)
Date: Sat May 24 16:53:01 2003
In-Reply-To: a0083.html#a20030524152517
URL: bon.taru@tbe.t-com.ne.jp
Name: 粒子
Subject: 失礼しました
中学生の立場に立ってと書いたと思うのですが、悪い印象を与えてしまった
みたいですね。収束を習ったのは高校の時だと思うのですが(極限も)数列
を習った後だったと思います。
循環小数を習った中学生(私の頃の)に1=0.99999・・・をどう説明
するかと言う主旨で書き込みしました。
3行発言は、失礼しました。気をつけます。それから正しくない等式というの
は9=9と書いたところです。1=0.99999・・・のことではありませ
ん。左巻さんとか、i−koさんも中学生を対象としていたので問題ないのか
なと思ってしまいました。数学の専門の方を対象にしているわけではありませ
ん。気分を害されたなら申し訳ありません。

Id: #a20030524155354  (reply, thread)
Date: Sat May 24 15:53:54 2003
In-Reply-To: a0082.html#a20030523205914
Name: くろき げん
Subject: 濃度と「1つ右隣」の存在は無関係

かもさんが論理的に必要なことをすべて説明しているのでその繰り返しになります。

顕正居士さん、「実数は自然数より多くあって両者を1対1対応させることはできないので0の1つ右隣の実数を考えることはできない」という考え方は少なくとも二通りの意味で混乱しています。

まず、有理数全体は自然数全体と一対一に対応付けることができます。しかし、そのことと「数直線上における0の1つ右隣の有理数」の話は関係ありません。なぜならば有理数と自然数の一対一対応は有理数の数直線上での大小関係を破壊してしまうからです。

次に、実数の数直線上での大小関係を無視することを許すとき、実数全体を整列させてあらゆる実数に1つ右隣に実数があるようにできます (整列可能定理の実数全体の集合への適用)。有理数や実数に最初から備わっている通常の大小関係を無視して構わないならば、自然数全体の集合と一対一対応があるかどうか (すなわち集合の可算性) は重要でなくなるのです。

実数全体がどのように整列しているかは見えないのですが (連続体仮説の話になる)、そのほんの最初の一部分 (おそろしく小さな一部分) は

a0, a1, a2, ......; aω, aω+1, aω+2, ......; aω+ω, aω+ω+1, aω+ω+2, ............

のような様子をしています。順序数や整列集合について調べてみると良いと思います。基数や濃度の話より順序数や整列集合の話の方が少し難しい話になっています。たとえば順序数の世界では「足し算」は非可換になります。無限の列 a0, a1, a2, ...... の左に有限個を付け加えた結果と右に有限個を付け加えた結果では整列の仕方が全然違っている。


Id: #a20030524152517  (reply, thread)
Date: Sat May 24 15:25:17 2003
In-Reply-To: a0082.html#a20030524110501
Name: くろき げん
Subject: 「1 = 0.9999…」は正しい等式の例

「これは、正しい等式の例ではないと思っているということです」の「これ」が何を指しているかが不明。「1 = 0.99999…」は正しい等式です。直観的に正しく収束の概念を理解している人には明らかな等式です。厳密な証明をお望みならば長々と講義をしなければいけない。

粒子さん、もうちょっと発言の仕方をどうにかできませんか。ふと感じた疑問を2〜3行程度の説明不足の文章で次々に書き込み続けるスタイルには問題があると思います。どの文献や資料を調べながら何をどのように考えて、自分自身の一時的な結論は何で、疑問は何なのか、などなどについて説明する気がありそうに見えない「3行質問」を繰り返すのは感じが悪い。そして理系出身者であれば自力で答を出せそうな事柄について間違った結論を疑問として繰り返し提出するのも感じが悪いと思います。

粒子さんは 「私は「ほんとうでしょうか?」と書いています」 (そう書いたのは5/21の3番目の発言) と述べてますが、たざきさんはその「ほんとうでしょうか?」という質問は「質問者の初等レベルでの混乱をはっきりと示す質問」だと指摘しています。私もその指摘に賛成です。理系出身者であれば自力でそれなりの結論が出せるはずの話に関してどうして「初等レベルで混乱した質問」を次々にするのか理解に苦しみます。

もしも「中学生相手にどう説明するか」という話をしたいならば、自分なりにどう説明したら良さそうかについて書いてみて、それを批判 (批評) してもらうのが良いと思います。


Id: #a20030524122932  (reply, thread)
Date: Sat May 24 12:29:32 2003
Name: たざき
Subject: ええと、月並みなレスですが、

顕正居士さま、

かもさんは、簡潔ですが、これ以上ないほどに論理的だと思います。 具体的な例もあげていらっしゃるのだから、もう一度、集合論の本をひもといて順序数などについてお読みになるのがよいのではないでしょうか? 掲示板で、かもさんに集合論の講義をしていただくわけにはいかないと思います。

粒子さま、

数学でいう実数が何かをご存じなら「0の次の実数」という疑問はでて来ません。 有理数ならわかりやすいと思ってそちらの説明を書いたわけですが、実数でも答えは同じで「0の次の実数」はありません。 「では『無限小』という数は?」などなど続編の疑問が想像されますが、未消化の知識のまま掲示板レベルの議論をしても何も得られないので、そこはぐっとがまんして適切なレベルの本をお読みになるのがいいと思いますよ。

黒木さん、

この掲示板で、ここまで不毛なやりとりが続いたのも、めずらしいですね。 ログとして残っていても、読んで何ら得るところがないから、ばっさり消してもらいたいくらいです。

野尻ボードの波の干渉の話題でも、とうに正解がポストされているのに延々と「熱い議論」が続いたのを彷彿とさせます。 数学における無限小、物理における波、など、そういうスポットにはまる話題というのがあるのでしょうかね?


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管理者: 黒木 玄  <kuroki@math.tohoku.ac.jp>  (Web Site)
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