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数学の学び方に関するヒント
――数学科の学生の皆さんへ――

黒木 玄 (東北大学大学院理学研究科数学専攻)


まず、これは何度も強調していることだが、正攻法は、数学の良い本を一冊選び、それを熟読することある。そのために適した本は、論理的な説明が詳しく書いてあって、しかも重要な例に関する説明がしっかり書いてあるものである。一つ以上の分野を完全に修得するためには、このような勉強の仕方が不可欠である。講義や演習の単位を取るためだけに、あまり面白くもない純粋に教科書的な本の一部をつまみぐいするという類の勉強の仕方も、ときには必要ではあるが、そのような勉強の仕方のみでは決して深い理解を得ることはできない。最近、そのような勉強の仕方をしている学生が大勢になっているように感じられるので、数学を楽しんでいる私は大変残念に思っている。

1日に数学の本を1ページづつ読んで行けば、たまに休んだとしても1年で300ページの本を1冊読むことができる。 1日に1ページとは何と遅い読み方だと思われる人がいるかもしれないが、それなら実際にそれができるかどうか実践してみて欲しい。どんなに速く読んだとしても、論理的かつ直観的な理解が伴わないのでは、数学の勉強の仕方として無意味である。厳密に論理をフォローするだけでも大変なのに、さらに直観的な理解をも身に付けようとすれば、膨大な時間が取られるのが普通である。

数学の本の読み方であるが、初心者は以下のような点に順次注意を払うのが良い:

  1. 論理的に厳密に理解すること。これは数学における基本であるが、論理的に厳密に理解するとはどういうことかを修得するという作業が最も苦しい段階であると思う。しかし、これを避けていては、どのような数学をも真に理解することはできない。論理的に厳密に考えることが、息をするのと同様にできるようになるよう努力しなければいけない。 (もちろんのことだが、論理をフォローしただけで理解したような気になってはいけない!)

  2. 一般論がどのように応用されているかを豊富な具体例および具体的な計算によっ て知ること。定理の証明を厳密にフォローしただけでは、その定理を理解したことにはならない。理解には、必ず具体例への応用および具体的な計算が伴わなければいけない。定理の重要さは、それを応用してみて、初めて認識されることが多いのである。

  3. 逆に具体例や具体的な計算のどのような側面が抽象化・一般化されているかを考えること。どのような一般論であろうと、数学的に重要な全ての具体例や計算をその一般論の中に内包することは不可能である。したがって、一般論によって扱うことが不可能な例や計算に出会った場合は、そのたびごとにその例と計算のどのような点が重要なのかを見抜く努力をしなければいけない。

  4. 今読んでいる本に載ってないことを考えること。本に載っている定理をほんの少し一般化したり、本に載っていない例を構成したり、本に載っていない計算を試してみたりすることは、本に書いてあること以上の理解を得るためには当然必要なことであるが、本に書いてあることを理解するためにも大変役に立つ。なぜなら、本に載っていることからほんの少し外れたことを考えると、なぜ定理がそのように定式化されているかなどのことがよく理解できる場合があるからである。

今読んでいる本の内容のみで理解が困難な場合は、他の文献を調べてみなければいけない。教科書には理解を助けるための演習問題の類が載っていることが多いが、必要に応じて演習問題を解答を自分で考えてみることも重要である。しかし、この命題の証明は演習問題であると陽に書いてなくても、数学書を読む作業はその本の内容の行間を埋めるために演習問題を解くことの連続になるので、実質的にたくさんの演習問題を解くことになる。よって、必ずしも演習問題を解くことにこだわる必要はない。このような考え方は他のあらゆることに当てはまる。どんなことをするにも、教条主義に堕ち入ることはよろしくないのである。

数学書を読んでいてわからなくなった場合は、先に進むことと後に戻ることの両方を考えなければいけない。数学書の多くは定義・例・定理・証明・系 (または例) のような順番に書かれていることが多い。定義や定理の内容を理解せずに先に読み進むことは、必ずしも不真面目な態度ではない。理解してない部分を明僚に認識し、理解してないことを忘れなければ良いのである。例えば、抽象的な定義を直観無しでは記憶に止めることさえ困難な場合がある。そのような場合は定義の文章を何度も読むだけではなく、先に進んでどのような例がその定義に適合するのか調べてみた方が良い。また、定理の文章を読んでも、一体何を述べているか分からない場合も多い。そのような場合は証明の文章をざっと眺めてみたり、定理の応用例として系もしくは例などが書いてないか調 べ、定理を理解するためにまずそちらの応用例にあたってみるのである。

わからなくなった場合の対処の仕方は他にも色々ある。例えば、本に書いてある内容があまりにも抽象的もしくは一般的な場合は、自分にとって親しみ易い特殊な場合に限ってそれが成立しているかを確かめてみるという方法がある。例えば、 n 次元コンパクト多様体と書いてあったら、まず S1 (円周)の場合に内容をチェックし、次に S2 (2次元球面) や2次元トーラスなどの簡単な場合を調べてみるのである。逆に、特殊過ぎて理解不能な場合は、どのように一般化されるか考えてみるのが良い。本に書いてある方向と少し逆の方向に行ってみることによって、理解が深まることは多いのである。

最後に強調しておきたいことは、数学の研究も自然科学と同様に帰納の学問であり、演繹の学問ではないということである。この点は多くの人が誤解している点である。数学科の卒業生でも誤解しているかもしれない。 (この点において、数学科の教官は大いに反省する必要があると思われる!) 実際の数学の研究の場では、特殊な多くの例の集積から、その様子がかなり明らかになったところで、多くの予想が立てられるのである。予想を立てるという作業は演繹的ではなく帰納的な作業である。予想の多くはすぐに証明もしくは反証されるが、予想の幾つかは証明も反証もされないまま、その特別な場合に関する結果のみがさらに集積して行くのである。その特別な結果の集積は自然科学における実験・観察の部分に相当している。つまり、論理的 (演繹的) に証明された結果や特殊な場合における計算結果は、理論建設という帰納的な試みの材料とされるのである。このようなことは、数学を真面目に勉強していれば自然に気が付くことである。


以上の文書は東北大学理学部数学科における1996年度前期に私が担当した3年生の演習のクラスで配布した文書を改訂したものである。


kuroki@math.tohoku.ac.jp